Chapitre S ·Suites et séries d'applications
Définition de la convergence uniforme
de L f n sur une partie de X.
Il
~ Propriété très utile en pratique.
..._,
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Ol
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>- 0.
0
u
316
c.u.
R 11 = S - S, . - + S - S = O.
noo
c.u.
S,. =S - R, . - + S - O=S.
"""
Cette condition nécessaire peut être utile
en pratique (cf.Remarque 2) ci-dessous).
Ne pas confondre les conditions
c.u.
c.u .
j,, - + 0 et R,. - + O .
noo
noo
Remarque: On montre facilement que, si L fn et L gn convergent uniformément sur X
n
11
et si À E IK est fixé, alors L(Àfn + g 11 ) converge uniformément sur X.
Il
Si Y est une partie de X , on dit que L fn converge uniformément sur Y si et seulement si
Il
L fn 1 Y converge uniformément (sur Y).
n
JI est clair que, si L f, 1 converge uniformément sur Y et si Z C Y, alors L f 11 converge uni"
Il
formément sur Z.
L ln converge uniformément sur X si et seulement si :
n:;,o
L
Preuve
{
la série L ln converge simplement sur X
n :;,O
la suite (Rn)n :;,o des restes converge uniformément vers 0 sur X.
1) Supposons que L f 11 converge uniformément. Alors (S 11 ) 11 :;,0 converge uniformément, donc simplement.
11 :;,0
En notant S la limite (simple et uniforme) de (S 11 ) 11 :;,o, on a donc: \lx E X, S 11 (x) - + S(x).
7
11 00
Comme, pour chaque x de X , Sn(x) est la nème somme partielle de la série L fk(x)
k:;,0
(à termes dans E), il s'ensuit que, pour tout x de X , la série L fn(x) converge et a pour somme S(x).
11 :;,0
+oo
Ainsi, L fn converge simplement (sur X) et L fn =S.
11 :;,0
n=O
c.~
c.u.
Comme S 11 - + S, et que (\ln E N, R 11 = S - S 11 ) , on déduit : R 11 - + O.
11 00
/Z OO
2) Réciproquement, supposons que L fn converge simplement et que (Rn)n:;,O converge uniformément
n:;,O
+oo
vers O. Notons S = L f n·
n=O
c.u.
~
Comme (\ln E N, S 11 = S - R 11 ), on déduit S 11 - + S, et donc L.., fn converge uniformément.
noo
11 :;,0
r F· ·· l ....__~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-,
Si L ln converge uniformément sur X, alors (ln)n converge uniformément vers 0
11
sur X.
1 Preuve:
1
C.V.
C.U.
Puisque Sn - + S, on a: fn = Sn - Sn- 1 - + S - S = O.
•
1100
11 00
Remarques:
1) Si L f n converge uniformément, alors les fn sont bornées à partir d'un certain rang, et
n
ll f,,lloo - + O.
noo
2) Par contra position, si 1 1 fn l loo ---+-+ 0, alors L fn ne converge pas uniformément.
11 00
Il