i.D La notion de reste d'ordre net la notion
de somme d'une série d'applications ne
sont définies que lorsque la série L fn
converge simplement.
On veillera à ne pas confondre
l'application 1 1 /n 1 1 et le réel l lf, 1 1 1 00 .En
pratique, E est le plus souvent K et la
norme 1 1 · 1 1 est alors 1 · 1 (valeur absolue
ou module ) ; dans ce cas, L fn
n ~O
converge absolument si et seulement si
L 1 / 11 1 converge simplement.où 1 / 11 1
11)0
est l'application If,, I :X ~ lR
.
x ~ lf,,(x)I
C'est de là que vient le terme de
« convergence absolue ».
Définition de la convergence absolue de
L f,, sur une partie de X.
n ~ O
5.3 ·Séries d'applications
On appelle quelquefois ensemble (ou : domaine) de convergence simple de L ln
n ;;:O
l'ensemble des x de X tels que L ln (x) converge.
J
n ;;:O
- - -
Soit L ln une série d'applications ; on suppose que L ln converge simplement sur X.
n ;;:O
n ;;:O
On appelle, pour chaque n de N, reste d'ordre n l'application Rn : X ----+ E définie
+oo
par: Vx E X, Rn(x) = L lk(x).
k=n+t
+oo
On appelle somme de la série L ln l'application, notée L ln. définie de X dans E
n;;:O
n=O
par: Vx EX, (~ ln)(x) = ~ ln(x).
Remarque: Avec les notations précédentes, si L fn converge simplement, on a :
n ;;:O
+oo
Vn EN, Sn + Rn = L fk·
k=O
2) Convergence absolue
On dit que L ln converge absolument (sur X) si et seulement si, pour chaque Î
n ;;:O
de X, L lllnCx)ll converge (dans~).
n;;:O
Remarque: L fn converge absolument si et seulement si L l lfn 11 converge simplement,
n ) O
n ) O
où on a noté ll fn ll l'application 11 /,, 11 : X-----* lR
.
X t----+ ll fn(x) ll
Si Y est une partie de X, on dit que L ln converge absolument sur Y si et seulement
n ;;:O
si L ln 1 y converge absolument (sur Y), c'est-à-dire si et seulement si, pour chaque x
n;;:O
de Y, L ll/,1(x)ll converge (dans ~).
n ;;:O
On appelle quelquefois ensemble (ou : domaine) de convergence absolue de L ln
n;;:O
l'ensemble des x de X tels que L 11ln(x)11 converge.
n ;;:O
3) Convergence uniforme
On dit que L ln converge uniformément (sur X) si et seulement si la suite (Sn)n; ; :j
n;;:O
des sommes partielles converge uniformément (sur X).
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