Chapitre S ·Suites et séries d'applications
Preuve
D'après l'hypothèse, puisque tout polynôme trigonométrique complexe est combinaison linéaire de fonctions t 1--+ e
1
n wt
(n E Z) , on a, pour tout polynôme trigonométrique complexe U,
foT U(t)f(t) dt= 0 , et donc aussi par conjugaison, foT U(t)f(t) dt= O.
D'après le 2ème théorème de Weierstrass, il existe une suite (Un)n eN de polynômes trigonométriques
complexes convergeant uniformément sur IR vers f. On a, pour tout n de N :
0 :::;: lT IJ(t) l
2 dt = lT IJ(t)l
2 dt - lT f(t)U(t)dt = lT f(t){J(t) - U 11 (t))dt
~ Tllfllooll f - Unl loo·
Comme 11 f - Un 11 00 ~ 0, on déduit { T 1f(t)1 2 dt = 0, d'où, puisque f est continue sur [O; T] :
noo
Jo
\:/t E [0; T],f(t) = 0.
Enfin, f étant T-périodique, on conclut: f = O.
•
Nous utiliserons le 2ème théorème de Weierstrass dans l'étude des séries de Fourier, cf. 7.2.3 p. 447.
5.3 Séries d'applications
,. \ Le même vocabulaire est utilisé pour
\J.J unesérie L fn,d'indice«dedépart »
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
3
Ol
·;::
>- 0.
0
u
314
no.no EN.
5.3.1
Pour étudier la convergence
simple d'une série d'applications
z)J,, : X~ E),onfixex E E
n ~O
et on étudie la nature de la série
L f,,(x).
n ~O
Définition de la convergence simple de
L f, 1 sur une partie de X.
On appelle série d'applications tout couple Un)nE N, (S 11 )nEN) formé d'une suite
d'applications (/ 11 : X -----+ E)n EN , où X est un ensemble non vide, et de la suite
n
(S 11 )n EN définie par: Vn E N, Sn = L fk·
k=O
La série d'applications ((/ 11 ) 11 EN ,(S 11 ) 11 EN) est notée L fn, ou LUn: X-----+ E)
n ~O
n ~O
lorsque l'on veut rappeler les _ ensembles de départ et d'arrivée des fn _ J
Pour n E N , Sn s'appelle la n eme somme partielle de la série L fn ..
n ~O
Convergences
Soit LUn : X----+ E) une série d'applications.
n ~ O
1) Convergence simple
On dit que L fn converge simplement (sur X) si et seulement si la suite (S 11 ) 11 ~0
n ~O
des sommes partielles converge simplement (sur X), c'est-à-dire si et seulement si,
pour chaque x de X, la série L f 11 (x) converge dans E.
n ~ O
Si Y est une partie de X, on dit que L fn converge simplement sur Y si et seulen ~o
ment si L fn 1 y converge simplement sur Y, c'est-à-dire si et seulement si, pour
n ~O
chaque x de Y, L fn (x) converge dans E.
n ~ O
Preuve
D'après l'hypothèse, puisque tout polynôme trigonométrique complexe est combinaison linéaire de fonctions t 1--+ e
1
n wt
(n E Z) , on a, pour tout polynôme trigonométrique complexe U,
foT U(t)f(t) dt= 0 , et donc aussi par conjugaison, foT U(t)f(t) dt= O.
D'après le 2ème théorème de Weierstrass, il existe une suite (Un)n eN de polynômes trigonométriques
complexes convergeant uniformément sur IR vers f. On a, pour tout n de N :
0 :::;: lT IJ(t) l
2 dt = lT IJ(t)l
2 dt - lT f(t)U(t)dt = lT f(t){J(t) - U 11 (t))dt
~ Tllfllooll f - Unl loo·
Comme 11 f - Un 11 00 ~ 0, on déduit { T 1f(t)1 2 dt = 0, d'où, puisque f est continue sur [O; T] :
noo
Jo
\:/t E [0; T],f(t) = 0.
Enfin, f étant T-périodique, on conclut: f = O.
•
Nous utiliserons le 2ème théorème de Weierstrass dans l'étude des séries de Fourier, cf. 7.2.3 p. 447.
5.3 Séries d'applications
,. \ Le même vocabulaire est utilisé pour
\J.J unesérie L fn,d'indice«dedépart »
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
3
Ol
·;::
>- 0.
0
u
314
no.no EN.
5.3.1
Pour étudier la convergence
simple d'une série d'applications
z)J,, : X~ E),onfixex E E
n ~O
et on étudie la nature de la série
L f,,(x).
n ~O
Définition de la convergence simple de
L f, 1 sur une partie de X.
On appelle série d'applications tout couple Un)nE N, (S 11 )nEN) formé d'une suite
d'applications (/ 11 : X -----+ E)n EN , où X est un ensemble non vide, et de la suite
n
(S 11 )n EN définie par: Vn E N, Sn = L fk·
k=O
La série d'applications ((/ 11 ) 11 EN ,(S 11 ) 11 EN) est notée L fn, ou LUn: X-----+ E)
n ~O
n ~O
lorsque l'on veut rappeler les _ ensembles de départ et d'arrivée des fn _ J
Pour n E N , Sn s'appelle la n eme somme partielle de la série L fn ..
n ~O
Convergences
Soit LUn : X----+ E) une série d'applications.
n ~ O
1) Convergence simple
On dit que L fn converge simplement (sur X) si et seulement si la suite (S 11 ) 11 ~0
n ~O
des sommes partielles converge simplement (sur X), c'est-à-dire si et seulement si,
pour chaque x de X, la série L f 11 (x) converge dans E.
n ~ O
Si Y est une partie de X, on dit que L fn converge simplement sur Y si et seulen ~o
ment si L fn 1 y converge simplement sur Y, c'est-à-dire si et seulement si, pour
n ~O
chaque x de Y, L fn (x) converge dans E.
n ~ O