"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
On groupe les termes d'indices < 0
d'une part, et on groupe les termes
d'indices > 0 d'autre part.
Changement d'indice m = - n dans
la première sommation.
Nous retrouverons ces notations dans le
chapitre 7,sur les séries de Fourier.
Ce résultat,qui n'est pas explicitement au
programme, se rencontre souvent en
exercice.
5.2 ·Approximation des fonctions d 'une variable réelle
Remarque : Avec les notations de la Définition précédente et si N ;;::, 1, on a, pour tout t
de lR :
-1
N
U(t) = L c,, (cos nwt + i sin nwt)+co + z= c,, (cosnwt+ i sin nwt )
11=- N
n= I
N
N
= L c_ 111 ( cos mwt - i sin mwt) + co + L cn( cos nwt + i sin nwt)
m = I
n= I
N
= co + L ((c,, + c _,,) cos nwt + i (c,. - c_ 11 ) sin n wt) .
n = I
Notons, pour tout n de N , a,, = c,, + c _,, ,b,, = i(c,, - c_ ,,). On a alors, pour tout t de lR :
N
ao
"""
U (t) = 2 +~ (an cos nwt + b,, sin nwt) .
n= l
Réciproquement, soient NE N, (a,,)o,,;n~ N E cN + l , (bn)O~n ~N E cN+ l tel que ho= 0, et
notons, pour n E Z tel que -N :::;; n :::;; N :
l
l
.
- (a,, - 1b 11 )
c. ~ ~(a . + ib_.)
si
si -N ~ n ~ O.
On a alors, pour tout de lR :
N
N
~
.
2 + L (a, , cos nwt + b,, sinnwt ) = L c,,e•nwt
n =l
n = - N
Ainsi, un polynôme trigonométrique complexe peut être considéré comme une combinaison
linéaire à coefficients complexes de fonctions t f-----+ einwt ou comme une combinaison linéaire à coefficients complexes de fonctions t f-----+ cos nwt et de fonctions t f-----+ sin n wt.
Les familles (JR ~ c) et ( JR ~ lR ) u (JR ~ lR ) étant libres,
t ~ einwt n EZ
t~cos nwt n EN
t ~sin nwt n EN*
on en déduit l'unicité des coefficients d'un polynôme trigonométrique.
Nous admettons le théorème suivant
2ème théorème de Weierstrass
Pour toute application f : IR ~
f sur IR.
Remarques:
1) Le 2 ème théorème de Weierstrass peut s'exprimer par : l'ensemble des polynômes trigonométriques complexes {associés à la période T ) est dense dans l'ev des applications de lR
dans C continues et T-périodiques muni de 11 · l loo.
2) Puisque tout polynôme trigonométrique complexe est de classe C
00 , on déduit du 2ème
théorème de Weierstrass le résultat suivant :
Toute application de lR dans C continue et T-périodique est limite uniforme sur lR d'une
suite d'applications de classe C
00 et T-périodiques.
l
Soit f : IR ~
313
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
On groupe les termes d'indices < 0
d'une part, et on groupe les termes
d'indices > 0 d'autre part.
Changement d'indice m = - n dans
la première sommation.
Nous retrouverons ces notations dans le
chapitre 7,sur les séries de Fourier.
Ce résultat,qui n'est pas explicitement au
programme, se rencontre souvent en
exercice.
5.2 ·Approximation des fonctions d 'une variable réelle
Remarque : Avec les notations de la Définition précédente et si N ;;::, 1, on a, pour tout t
de lR :
-1
N
U(t) = L c,, (cos nwt + i sin nwt)+co + z= c,, (cosnwt+ i sin nwt )
11=- N
n= I
N
N
= L c_ 111 ( cos mwt - i sin mwt) + co + L cn( cos nwt + i sin nwt)
m = I
n= I
N
= co + L ((c,, + c _,,) cos nwt + i (c,. - c_ 11 ) sin n wt) .
n = I
Notons, pour tout n de N , a,, = c,, + c _,, ,b,, = i(c,, - c_ ,,). On a alors, pour tout t de lR :
N
ao
"""
U (t) = 2 +~ (an cos nwt + b,, sin nwt) .
n= l
Réciproquement, soient NE N, (a,,)o,,;n~ N E cN + l , (bn)O~n ~N E cN+ l tel que ho= 0, et
notons, pour n E Z tel que -N :::;; n :::;; N :
l
l
.
- (a,, - 1b 11 )
c. ~ ~(a . + ib_.)
si
si -N ~ n ~ O.
On a alors, pour tout de lR :
N
N
~
.
2 + L (a, , cos nwt + b,, sinnwt ) = L c,,e•nwt
n =l
n = - N
Ainsi, un polynôme trigonométrique complexe peut être considéré comme une combinaison
linéaire à coefficients complexes de fonctions t f-----+ einwt ou comme une combinaison linéaire à coefficients complexes de fonctions t f-----+ cos nwt et de fonctions t f-----+ sin n wt.
Les familles (JR ~ c) et ( JR ~ lR ) u (JR ~ lR ) étant libres,
t ~ einwt n EZ
t~cos nwt n EN
t ~sin nwt n EN*
on en déduit l'unicité des coefficients d'un polynôme trigonométrique.
Nous admettons le théorème suivant
2ème théorème de Weierstrass
Pour toute application f : IR ~
f sur IR.
Remarques:
1) Le 2 ème théorème de Weierstrass peut s'exprimer par : l'ensemble des polynômes trigonométriques complexes {associés à la période T ) est dense dans l'ev des applications de lR
dans C continues et T-périodiques muni de 11 · l loo.
2) Puisque tout polynôme trigonométrique complexe est de classe C
00 , on déduit du 2ème
théorème de Weierstrass le résultat suivant :
Toute application de lR dans C continue et T-périodique est limite uniforme sur lR d'une
suite d'applications de classe C
00 et T-périodiques.
l
Soit f : IR ~
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