-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
312
Chapitre S ·Suites et séries d'applications
a) Soient f E E, s E JO; +oo[. Montrer qu'il existe
o: E JO; +oo[ tel que: \f(x,y) E [O; 1]2,
lf(x) - f(y)I :;-, ;; s + 211f~loo (x - y)2
0:
b) Vérifier que, pour tout n de N, Bn est linéaire positive.
c) Montrer: \fk E {0,1 ,2}, ll Bn(ek) - eklloo-----+ O.
noo
d) En déduire: \ff E E, ll B,,(f)- flloo-----+ O.
noo
Ainsi, f est limite uniforme sur [O; 1 J de la suite
(Bn (f)) 11 ef\l des polynômes de Bernstein de f.
Les exercices 5.2.24 à 5.2.39 portent sur les polynômes de
Bernstein de f, définis, pour f : [O; lJ -----+ JK, n E N ,
X E [O; lJ par:
Bn(f)(x) = t C:J (~)xk(l - xt-k
k=O
n
cf. ex. 5.2.21.
5.2.24 Montrer : \f f E c[O: 1 J, \fn E N,
Bn(f)(O) = f(O) et B,,(f)(l) = f(l).
5.2.25 Montrer : \f f E c(O: 1 l, \fn E N,
BncJ) = B,,(f).
5.2.26 Pour f E oc[O: 1 l , on note J : [0; 1 J ----+ oc.
n - -•/(1-x)
[0·1]
-
~
Montrer : \f f E lK · , \fn E N, B,, (f) = B,, (f) .
5.2.27 Soientn EN et B,,: JRlO:l]-----+ JR[O:l]_
/>---> 8 ,,(/)
a) Montrer que Bn est linéaire.
b) Etablir que B,, est positif, c'est-à-dire :
\f f E IR[O;IJ , (t : ? 0 ===} B,,(f) :? 0).
c) En déduire que B,, est croissante.
5.2.28 a) Soient f : [0; lJ -----+ IR, n E N. Montrer que, si
f est majorée (resp. minorée), alors B,, (f) est majorée
(resp. minorée) et, pour tout x de [O; l],
B,,(f)(x) :>;; Sup f(t) (resp. Bn(f)(x):? Inf f(t)).
te[O; 1)
t e [O: 1]
b) Montrer que, si f : [O; 1 J -----+ IC est bornée, alors, pour
tout n de N, Bn (f) est bornée et :
ll BnCf) lloo :>;; llfl loo·
5.2.29 Etablir: \ff E JK[O: IJ, \fn EN, \fx E [0; l],
Bn(lf l
2 )(x) :? IB,,(f)(x)l
2 .
5.2.30 Montrer que, si f : [O; lJ -----+ IR est convexe,
alors:
\fn EN, \fx E [0; lJ , B,,(f)(x) :? f(x).
5.2.31 a) 1) Montrer, pour tous f E oc[O; l] , n E N,
X E [0; lJ :
(B 11 (f))
1 (x)
= n ~ c:_J (t( k:
1
) - f (~) )xk(l - x)
11 -l-k_
2) En déduire, pour toute f de IR [O: l l et tout n de N :
• si f est croissante, alors B,, (f) est croissante
• si f est décroissante, alors Bn (f) est décroissante.
b) 1) Montrer, pour tousf E oc[O: lJ, n EN, XE [O; lJ:
(Bn (f))" (x)
u- 2 k
(
(k+2) (k +l) (k))
=11(11- l ) t;Cn - 2 f -
11
-
-2f -
1
-
1
+J;; xk(l -x)"- k.
2) En déduire, pour toute f de IR[O: I] et tout n de N :
• si f est convexe, alors Bn (f) est convexe
• si f est concave, alors B,, (f) est concave.
5.2.3 Approximation par des polynômes
trigonométriques
u (t) = C-Ne-iNwt + ...
+cNeiNwt.
Dans ce § 5.2.3, on note T un réel > 0 (qui sera une période des fonctions considérées), et
27T
w = - , appelé pulsation.
T
On appelle polynôme trigonométrique complexe toute application U : lR ----+ C
telle qu'il existe NE N et (cn)-N( n( N E C 2 N+ I tels que:
N
j
Vt E JR, U(t) = L c 11 einwr_
n=-N
- - - - -
0
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Chapitre S ·Suites et séries d'applications
a) Soient f E E, s E JO; +oo[. Montrer qu'il existe
o: E JO; +oo[ tel que: \f(x,y) E [O; 1]2,
lf(x) - f(y)I :;-, ;; s + 211f~loo (x - y)2
0:
b) Vérifier que, pour tout n de N, Bn est linéaire positive.
c) Montrer: \fk E {0,1 ,2}, ll Bn(ek) - eklloo-----+ O.
noo
d) En déduire: \ff E E, ll B,,(f)- flloo-----+ O.
noo
Ainsi, f est limite uniforme sur [O; 1 J de la suite
(Bn (f)) 11 ef\l des polynômes de Bernstein de f.
Les exercices 5.2.24 à 5.2.39 portent sur les polynômes de
Bernstein de f, définis, pour f : [O; lJ -----+ JK, n E N ,
X E [O; lJ par:
Bn(f)(x) = t C:J (~)xk(l - xt-k
k=O
n
cf. ex. 5.2.21.
5.2.24 Montrer : \f f E c[O: 1 J, \fn E N,
Bn(f)(O) = f(O) et B,,(f)(l) = f(l).
5.2.25 Montrer : \f f E c(O: 1 l, \fn E N,
BncJ) = B,,(f).
5.2.26 Pour f E oc[O: 1 l , on note J : [0; 1 J ----+ oc.
n - -•/(1-x)
[0·1]
-
~
Montrer : \f f E lK · , \fn E N, B,, (f) = B,, (f) .
5.2.27 Soientn EN et B,,: JRlO:l]-----+ JR[O:l]_
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a) Montrer que Bn est linéaire.
b) Etablir que B,, est positif, c'est-à-dire :
\f f E IR[O;IJ , (t : ? 0 ===} B,,(f) :? 0).
c) En déduire que B,, est croissante.
5.2.28 a) Soient f : [0; lJ -----+ IR, n E N. Montrer que, si
f est majorée (resp. minorée), alors B,, (f) est majorée
(resp. minorée) et, pour tout x de [O; l],
B,,(f)(x) :>;; Sup f(t) (resp. Bn(f)(x):? Inf f(t)).
te[O; 1)
t e [O: 1]
b) Montrer que, si f : [O; 1 J -----+ IC est bornée, alors, pour
tout n de N, Bn (f) est bornée et :
ll BnCf) lloo :>;; llfl loo·
5.2.29 Etablir: \ff E JK[O: IJ, \fn EN, \fx E [0; l],
Bn(lf l
2 )(x) :? IB,,(f)(x)l
2 .
5.2.30 Montrer que, si f : [O; lJ -----+ IR est convexe,
alors:
\fn EN, \fx E [0; lJ , B,,(f)(x) :? f(x).
5.2.31 a) 1) Montrer, pour tous f E oc[O; l] , n E N,
X E [0; lJ :
(B 11 (f))
1 (x)
= n ~ c:_J (t( k:
1
) - f (~) )xk(l - x)
11 -l-k_
2) En déduire, pour toute f de IR [O: l l et tout n de N :
• si f est croissante, alors B,, (f) est croissante
• si f est décroissante, alors Bn (f) est décroissante.
b) 1) Montrer, pour tousf E oc[O: lJ, n EN, XE [O; lJ:
(Bn (f))" (x)
u- 2 k
(
(k+2) (k +l) (k))
=11(11- l ) t;Cn - 2 f -
11
-
-2f -
1
-
1
+J;; xk(l -x)"- k.
2) En déduire, pour toute f de IR[O: I] et tout n de N :
• si f est convexe, alors Bn (f) est convexe
• si f est concave, alors B,, (f) est concave.
5.2.3 Approximation par des polynômes
trigonométriques
u (t) = C-Ne-iNwt + ...
+cNeiNwt.
Dans ce § 5.2.3, on note T un réel > 0 (qui sera une période des fonctions considérées), et
27T
w = - , appelé pulsation.
T
On appelle polynôme trigonométrique complexe toute application U : lR ----+ C
telle qu'il existe NE N et (cn)-N( n( N E C 2 N+ I tels que:
N
j
Vt E JR, U(t) = L c 11 einwr_
n=-N
- - - - -