N1 (P) = Sup IP(x )I et N1 (P ) = Sup IP(x )I.
xE /1
xE / 2
Soit (A , B) E E 2 quelconque. Montrer qu'il existe une
suite (Pn)neN dans E telle que :
1
Pn ~ A dans (E, N1 )
noo
Pn ~ B dans (E, N2).
noo
5.2.20 On note (Pn)n eN la suite d'applications définie
par Po= 0 et:
Vn E N, Vx E [0; l] ,
Pn+ I (x ) = Pn(X) + ~ ( x - (Pn(x))
2 ).
a)* Démontrer :
2Jx
Vn E N, Vx E [0; 1], 0 ,,:;; Jx - Pn(x ) ,,:;;
Jx .
2+ n X
b) En déduire que (Pn) ne N converge uniformément sur
[O; l] vers p : x t----+ Jx .
c)
Montrer
que
la
suite
de
polynômes
W n : [ - 1; 1] - IR)neN définie par:
Vn E N, V't E [- 1; l] ,
2
Q n(t ) = (Pn(lt l))
converge uniformément sur [- 1; l] vers 5.2.21
Une démonstration du 1er théorème de
Weierstrass, méthode de Bernstein
Soit f : [O; l] - lK continue. On note, pour tout n E N,
8 11 (.f) le polynôme de JK[X] défini par :
Il
(k)
Vx E [0; 1], B,, (f )(x ) = {;C~ f ;; x k(l -x)"- \
appelé polynôme de Bernstein.
Soit E > 0 fixé.
a) Montrer qu'il existe 1) > 0 tel que:
V(u ,v) E [0; 1]
2 , (1u - vl~ IJ ==? lf(u) - f(v) l~ i).
b) } Montrer, pour tout n E N et tout x E [O; l] :
If (x) - Bll (f)(x)I ~ tac~ jtcx) - f (~) lx k (1 - x )"-k .
Soient n E N, x E [O; 1]. On note:
E1 = {k E {O, ... ,n}; lx - ~I ~ 1) } ·
Ez = {k E {0, ... ,n}; lx - ~ I > IJ}·
c) Montrer:
d) 1) Établir :
L C~ I f (x ) - f (~) lx k (1 - x )"- k
k EE2
~ 2ll f lloo f...c k ( _ ~ )
2
k(l - .)"- k
'..;::
2
L
Il
X
X
X
.
1)
k=O
n
5.2 ·Approximation des fonctions d'une variable réelle
2) Calculer, pour tout n E N et tout (x ,y ) E [O; 1 ]
2 les trois
sommes :
Il
~ck k n-k
L
"x y ,
k=O
Il
~ kCk k n- k
L
,,x y ,
k=O
Il
~k 2 Ck k n-k
L
"x y .
k=O
3) En déduire, pour tout n E N et tout x E [O; 1] :
tc~ (x - ~) 2xk (l -x)"-k = x(l - x ) .
~o
n
n
4) Établir:
Lc~ lf(x)-f (~)lxk (l -x)"-k ~ llf~loo _
k e E2
n
2 1) n
e) Conclure : 8 11 (.f) ~ f sur [0; 1].
1100
f) Établir le résultat analogue plus généralement sur
[a; b], (a ,b) E IR 2 , a ~ b.
5.2.22 Une démonstration du 1 cr théorème de
Weierstrass
Soient (a ,b) E IR 2 tel que a < b , f: [a; b] - lK continue, E > O.
a) Montrer qu 'il existe n E N*, une subdivision (xk)O, ;;:k, ;;:n
de [a; b], et des complexes µ k (1 :::;; k :::;; n - 1) tel s qu'en
notant gk : [a ; b] -
C
, on ait:
{
Ü SÎ X :::;; X k
X~
X - X k SI X > X k
Vx E [a ; b], k(x) - (!Ca) + ~ µ kgk(x)) I:::;; i·
b) Avec les notations de a), montrer qu'il existe des pol ynômes Pk (0 :::;; k :::;; n - 1) te ls que :
E
Vx E [a ; b] , lgk(x ) - Pk(x ) I :::;; - ,
nM
n- l
où M = 1 + L lµkl . (Utiliser l'exercice 5.2.20 c)).
k=O
c) En déduire que f est limite uniforme sur [a; b]d'une
suite de polynômes.
5.2.23 Une démonstration du 1er théorème de
Weierstrass, méthode de Korovkine
On note E = C ([0; l],IR).
Une application linéaire T : E -
E est dite positive si et
seulement si :
V f E E , (f ~ 0 ==? T (f) ~ 0).
Pour tout k de N , on note ek : [0; l] -
IR .
x ~ xk
Pour tout n de N, on note Bn : E -
E l'application définie par : V f E E , V x E [0; 1],
Bn C.f )(x) = t C:J (~)xk(l -xt - k.
k=O
311
xE /1
xE / 2
Soit (A , B) E E 2 quelconque. Montrer qu'il existe une
suite (Pn)neN dans E telle que :
1
Pn ~ A dans (E, N1 )
noo
Pn ~ B dans (E, N2).
noo
5.2.20 On note (Pn)n eN la suite d'applications définie
par Po= 0 et:
Vn E N, Vx E [0; l] ,
Pn+ I (x ) = Pn(X) + ~ ( x - (Pn(x))
2 ).
a)* Démontrer :
2Jx
Vn E N, Vx E [0; 1], 0 ,,:;; Jx - Pn(x ) ,,:;;
Jx .
2+ n X
b) En déduire que (Pn) ne N converge uniformément sur
[O; l] vers p : x t----+ Jx .
c)
Montrer
que
la
suite
de
polynômes
W n : [ - 1; 1] - IR)neN définie par:
Vn E N, V't E [- 1; l] ,
2
Q n(t ) = (Pn(lt l))
converge uniformément sur [- 1; l] vers 5.2.21
Une démonstration du 1er théorème de
Weierstrass, méthode de Bernstein
Soit f : [O; l] - lK continue. On note, pour tout n E N,
8 11 (.f) le polynôme de JK[X] défini par :
Il
(k)
Vx E [0; 1], B,, (f )(x ) = {;C~ f ;; x k(l -x)"- \
appelé polynôme de Bernstein.
Soit E > 0 fixé.
a) Montrer qu'il existe 1) > 0 tel que:
V(u ,v) E [0; 1]
2 , (1u - vl~ IJ ==? lf(u) - f(v) l~ i).
b) } Montrer, pour tout n E N et tout x E [O; l] :
If (x) - Bll (f)(x)I ~ tac~ jtcx) - f (~) lx k (1 - x )"-k .
Soient n E N, x E [O; 1]. On note:
E1 = {k E {O, ... ,n}; lx - ~I ~ 1) } ·
Ez = {k E {0, ... ,n}; lx - ~ I > IJ}·
c) Montrer:
d) 1) Établir :
L C~ I f (x ) - f (~) lx k (1 - x )"- k
k EE2
~ 2ll f lloo f...c k ( _ ~ )
2
k(l - .)"- k
'..;::
2
L
Il
X
X
X
.
1)
k=O
n
5.2 ·Approximation des fonctions d'une variable réelle
2) Calculer, pour tout n E N et tout (x ,y ) E [O; 1 ]
2 les trois
sommes :
Il
~ck k n-k
L
"x y ,
k=O
Il
~ kCk k n- k
L
,,x y ,
k=O
Il
~k 2 Ck k n-k
L
"x y .
k=O
3) En déduire, pour tout n E N et tout x E [O; 1] :
tc~ (x - ~) 2xk (l -x)"-k = x(l - x ) .
~o
n
n
4) Établir:
Lc~ lf(x)-f (~)lxk (l -x)"-k ~ llf~loo _
k e E2
n
2 1) n
e) Conclure : 8 11 (.f) ~ f sur [0; 1].
1100
f) Établir le résultat analogue plus généralement sur
[a; b], (a ,b) E IR 2 , a ~ b.
5.2.22 Une démonstration du 1 cr théorème de
Weierstrass
Soient (a ,b) E IR 2 tel que a < b , f: [a; b] - lK continue, E > O.
a) Montrer qu 'il existe n E N*, une subdivision (xk)O, ;;:k, ;;:n
de [a; b], et des complexes µ k (1 :::;; k :::;; n - 1) tel s qu'en
notant gk : [a ; b] -
C
, on ait:
{
Ü SÎ X :::;; X k
X~
X - X k SI X > X k
Vx E [a ; b], k(x) - (!Ca) + ~ µ kgk(x)) I:::;; i·
b) Avec les notations de a), montrer qu'il existe des pol ynômes Pk (0 :::;; k :::;; n - 1) te ls que :
E
Vx E [a ; b] , lgk(x ) - Pk(x ) I :::;; - ,
nM
n- l
où M = 1 + L lµkl . (Utiliser l'exercice 5.2.20 c)).
k=O
c) En déduire que f est limite uniforme sur [a; b]d'une
suite de polynômes.
5.2.23 Une démonstration du 1er théorème de
Weierstrass, méthode de Korovkine
On note E = C ([0; l],IR).
Une application linéaire T : E -
E est dite positive si et
seulement si :
V f E E , (f ~ 0 ==? T (f) ~ 0).
Pour tout k de N , on note ek : [0; l] -
IR .
x ~ xk
Pour tout n de N, on note Bn : E -
E l'application définie par : V f E E , V x E [0; 1],
Bn C.f )(x) = t C:J (~)xk(l -xt - k.
k=O
311