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c
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0
(V)
.--t
0
N
@
.......
J::
O'l
·;::::
>0.
0
u
310
Chapitre S • Suites et séries d'applications
dans IR définie par P1 = P et, pour to ut n de N*,
Pn+ I = Pn o P. On suppose que ( Pn)n ~ I converge unifo rméme nt vers une application f : 1 - IR. Montrer que
f est constante.
5.2.6 Montrer que l'application f: ]O; 1) ~ IR: n'est pas
xt--->sin}
limite uniforme sur ]0; l] d'une suite d'app licatio ns po lynomiales.
5.2.7 Soit ( Pn)n EN une suite de polynômes à coefficients
réels convergeant uniformément vers 0 sur (- 1; O] et telle
que "ln EN, fo
1
Pn(X) dx = 1 .
Mo ntrer que la suite (deg( Pn))
n'est pas majorée.
nEN
5.2.8 Soient k E N, ( Pn)n EN une suite de polynô mes à
coefficients réels telle que :
"ln E N, deg(Pn) ~ k.
Montrer que, s'il existe un segment [a; h] de IR, no n réduit
à un point, tel que (Pn)nE N converge uniforméme nt sur
[a; h], aJors, pour tout segment [c; d ] de IR, (Pn)n EN
converge uniformément sur [c; d ] vers un polynôme.
5.2.9 Soient (a,h) E IR 2 tel que a < h,
(P,,: (a; h] -
C)..EN
une suite de polynômes,
f: [a; h] -
C une application.
On suppose que ( Pn)n EN converge simplement vers f sur
[a; h] et qu'il existe NE N te l que:
"ln EN, deg( Pn) ~ N.
Démontrer que f est un polynôme et que (Pn)n EN converge uniformément vers f sur [a; h] .
5.2.10 Soient (a ,h) E IR 2 te l que a < h,
f: [a; h] -
IR continue, s > O. Montrer qu 'il existe des
polynômes P , Q à coefficients réels tels que:
"lx E [a; h], {
P (x) ~ f (x) ~ Q(x)
Q(x) - P (x) ~ s .
5.2.11 Soit a E]Ü; +oo[. Pour toute applicati on
f: [-a; a ] - C , on notef: f- a; a]~ C, cf. A nalyse
Xt----> f( -X)
MPSI, § 4 .1.3 .
a) Montrer que, si une suite (f,, : [-a; a ] -
C)nEN
converge
uniformément
vers
une
application
f : [ -a; a ] - C, alors Cfn)n EN converge uniformément
vers J.
h) Soit f : [-a; a ] - C continue. Montrer que, si f est
paire (resp. impaire), aJors il existe une suite ( Pn)nEN de
polynômes pairs (resp. impairs) convergeant uniformément vers f sur [ -a; a ] .
5.2.12 Soient k E N* et f : [O; 1] - C continue.
Mo ntrer qu'il ex iste une suite ( Pn)n EN de polynômes te lle
que, en notant An = Pn(Xk), (An)n EN converge uniformément vers f sur [O; l ].
5.2.13 Soient (a ,h) E IR 2 tel que a < h, f : [a; h ] - C
continu e. Montrer q ue, si pour to ut n de N,
lb ( n (x + k)) f (x) dx = 0 , a lors f =O.
(On convient que: fl (x + k) = 1).
k E0
5.2.14 Soit f : [O; l] - C continue. Montrer que les
propriétés suivantes sont deux à deux équivale ntes :
l )f = 0
2) "ln EN, fo
1
xnf(x) dx = 0
3) 3N EN, "ln EN, ( n ~ N ==:::} Io I x" f(x) dx = 0)
4) 3k E N*, "ln EN, fol xkn f(x) dx =O.
5.2.15 Soient (a,h) E IR 2 tel que a < h, E = C([a; h] ,C)
-
0
rniaJes de [a; h] dans C . Déterminer P, P, Fr(P) (dans E).
5.2.16 Soient (a ,h) E IR 2 tel que a < h ,f: [a; h ] -
C
continue, NE N*, a 1 , ... ,aN E [a; h ] deux à deux distincts. Montrer qu'il existe une suite ( Pn)n EN de polynômes complexes te lle que :
P 11 -----+ f sur [a; h]
l
C.V.
noo
\fi E {l , ... ,N}. "ln E N, Pn(a;) = f(a;).
5.2.17 Soient (a ,h) E IR 2 tel que a < h,
f : [a; h ] - IR continue.
Mo ntre r
qu'il
existe
une
suite
décroissante
(Pn : [a; h] -
IR)n EN d'applicatio ns polynomi ales à
coefficients réels convergeant unifo rméme nt vers f sur
[a; h] .
5.2.18 Soient (a,h) E IR 2 tel que a < h,
f: [a; h] - C de classe C 1 . Mo ntrer qu'il existe une
suite ( Pn)n EN de polynômes complexes telle que:
C.V.
Pn-----+ f et
noo
C.V.
p~-----+ f'.
noo
5.2.19 Un exemple de suite ayant deux limites différentes pour deux normes
O n no te E= IR[X], 11= [-2;-l], 12= [1;2],
N i : E -
IR, N2 : E -
IR les normes sur E définies
par : V P E E ,
0
c
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Chapitre S • Suites et séries d'applications
dans IR définie par P1 = P et, pour to ut n de N*,
Pn+ I = Pn o P. On suppose que ( Pn)n ~ I converge unifo rméme nt vers une application f : 1 - IR. Montrer que
f est constante.
5.2.6 Montrer que l'application f: ]O; 1) ~ IR: n'est pas
xt--->sin}
limite uniforme sur ]0; l] d'une suite d'app licatio ns po lynomiales.
5.2.7 Soit ( Pn)n EN une suite de polynômes à coefficients
réels convergeant uniformément vers 0 sur (- 1; O] et telle
que "ln EN, fo
1
Pn(X) dx = 1 .
Mo ntrer que la suite (deg( Pn))
n'est pas majorée.
nEN
5.2.8 Soient k E N, ( Pn)n EN une suite de polynô mes à
coefficients réels telle que :
"ln E N, deg(Pn) ~ k.
Montrer que, s'il existe un segment [a; h] de IR, no n réduit
à un point, tel que (Pn)nE N converge uniforméme nt sur
[a; h], aJors, pour tout segment [c; d ] de IR, (Pn)n EN
converge uniformément sur [c; d ] vers un polynôme.
5.2.9 Soient (a,h) E IR 2 tel que a < h,
(P,,: (a; h] -
C)..EN
une suite de polynômes,
f: [a; h] -
C une application.
On suppose que ( Pn)n EN converge simplement vers f sur
[a; h] et qu'il existe NE N te l que:
"ln EN, deg( Pn) ~ N.
Démontrer que f est un polynôme et que (Pn)n EN converge uniformément vers f sur [a; h] .
5.2.10 Soient (a ,h) E IR 2 te l que a < h,
f: [a; h] -
IR continue, s > O. Montrer qu 'il existe des
polynômes P , Q à coefficients réels tels que:
"lx E [a; h], {
P (x) ~ f (x) ~ Q(x)
Q(x) - P (x) ~ s .
5.2.11 Soit a E]Ü; +oo[. Pour toute applicati on
f: [-a; a ] - C , on notef: f- a; a]~ C, cf. A nalyse
Xt----> f( -X)
MPSI, § 4 .1.3 .
a) Montrer que, si une suite (f,, : [-a; a ] -
C)nEN
converge
uniformément
vers
une
application
f : [ -a; a ] - C, alors Cfn)n EN converge uniformément
vers J.
h) Soit f : [-a; a ] - C continue. Montrer que, si f est
paire (resp. impaire), aJors il existe une suite ( Pn)nEN de
polynômes pairs (resp. impairs) convergeant uniformément vers f sur [ -a; a ] .
5.2.12 Soient k E N* et f : [O; 1] - C continue.
Mo ntrer qu'il ex iste une suite ( Pn)n EN de polynômes te lle
que, en notant An = Pn(Xk), (An)n EN converge uniformément vers f sur [O; l ].
5.2.13 Soient (a ,h) E IR 2 tel que a < h, f : [a; h ] - C
continu e. Montrer q ue, si pour to ut n de N,
lb ( n (x + k)) f (x) dx = 0 , a lors f =O.
(On convient que: fl (x + k) = 1).
k E0
5.2.14 Soit f : [O; l] - C continue. Montrer que les
propriétés suivantes sont deux à deux équivale ntes :
l )f = 0
2) "ln EN, fo
1
xnf(x) dx = 0
3) 3N EN, "ln EN, ( n ~ N ==:::} Io I x" f(x) dx = 0)
4) 3k E N*, "ln EN, fol xkn f(x) dx =O.
5.2.15 Soient (a,h) E IR 2 tel que a < h, E = C([a; h] ,C)
-
0
rniaJes de [a; h] dans C . Déterminer P, P, Fr(P) (dans E).
5.2.16 Soient (a ,h) E IR 2 tel que a < h ,f: [a; h ] -
C
continue, NE N*, a 1 , ... ,aN E [a; h ] deux à deux distincts. Montrer qu'il existe une suite ( Pn)n EN de polynômes complexes te lle que :
P 11 -----+ f sur [a; h]
l
C.V.
noo
\fi E {l , ... ,N}. "ln E N, Pn(a;) = f(a;).
5.2.17 Soient (a ,h) E IR 2 tel que a < h,
f : [a; h ] - IR continue.
Mo ntre r
qu'il
existe
une
suite
décroissante
(Pn : [a; h] -
IR)n EN d'applicatio ns polynomi ales à
coefficients réels convergeant unifo rméme nt vers f sur
[a; h] .
5.2.18 Soient (a,h) E IR 2 tel que a < h,
f: [a; h] - C de classe C 1 . Mo ntrer qu'il existe une
suite ( Pn)n EN de polynômes complexes telle que:
C.V.
Pn-----+ f et
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C.V.
p~-----+ f'.
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5.2.19 Un exemple de suite ayant deux limites différentes pour deux normes
O n no te E= IR[X], 11= [-2;-l], 12= [1;2],
N i : E -
IR, N2 : E -
IR les normes sur E définies
par : V P E E ,