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5.2 ·Approximation des fonctions d'une variable réelle
Solution
Conseils
•On a, pour tout (.f,g) E E 2 :
N0 (f +g) = ~a" l1
1
t"(f + g)(t)dt l = ~a" l1
1
t" f(t)dt + 1
1
t" g(t)dt l
11=0
0
n= O
0
0
~ %a" (1 1
1
t" f(t) dtl + 11
1
t" g(t ) dtl)
Inégalité triangulaire dans ~. puis sommation de séries convergentes.
= %a"l 1
1
t"f(t)dt l + %a"I 1
1
t" g(t)dt l = N0 (.f) + N0 (g) .
• On a, pour tout À E IR et toute f E E :
•Soit f E E telle que Na(f) =O. On a alors :
Vn E N, a"l 1
1
t" f(t)dtl=0 ,
donc: Vn E N, 1
1
t" f(t)dt =O.
D'après le Corollaire du § 5.2.2, on conclut : f = O.
Ceci montre que N a est une norme sur E.
Les méthodes à retenir
Approximation par des polynômes
Les termes de la série sont tous ~ 0 et leur
somme est nulle, donc chaque terme est nul.
Par hypothèse, a est supposé non nul.
La démonstration de ce Corollaire, qui est
un exercice classique, utilise le premier
théorème de Weierstrass.
• Lorsqu'intervient une condition type V n E N, deg( P,,) ~ N, où N est fixé et ( ? 11 ) 11 est une suite de polynômes, penser à utiliser l'équivalence des normes dans le lR-espace vectoriel normé de dimension finie lRN [X]
(ex. 5.2.7 à 5.2.9).
•
•
Pour obtenir une approximation uniforme par des polynômes satisfaisant une condition supplémentaire,
combiner le premier théorème de Weierstrass et cette condition (ex. 5 .2.16 à 5 .2.18). S'il s' agit d'approcher f et
! ' ,commencer par approcher f' puis appliquer le théorème sur convergence uniforme et intégration (ex. 5.2.18).
Pour s'entraîner sur la manipulation des polynômes de Bernstein, utilisés dans une démonstration du premier
théorème de Weierstrass, le lecteur dispose d'exercices d'application directe (ex. 5.2.24 à 5.2.28) et d' exercices
nécessitant quelques calculs (ex. 5.2.29 à 5.2.31).
Les exercices 5.2.3 à 5.2.9 n'utilisent pas le théorème de
Weierstrass.
5.2.3 Soit (P 11 ) 11 EN une suite de polynômes à coefficients
réels telle que, pour tout segment J de IR , (P 11 ) 11 EN converge uniformément vers 0 sur J.
Peut-on affirmer que (P 11 ) 11 EN converge uniformément
vers 0 sur IR?
5.2.4 Donner un exemple de suite (P 11 ) 11 EN de polynômes
telle que (P 11 ) 11 EN converge uniformément sur [-1; l] et
que, pour tout intervalle l contenant strictement [-1; 1],
(P 11 ) 11 EN ne converge pas uniformément sur/.
5.2.5 Soient 1 un intervalle de IR , P E IR[X] tel que
P(l) c 1 et P #X , (P 11 ) 11 ;;, 1 la suite d'applications de 1
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5.2 ·Approximation des fonctions d'une variable réelle
Solution
Conseils
•On a, pour tout (.f,g) E E 2 :
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1
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1
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Inégalité triangulaire dans ~. puis sommation de séries convergentes.
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• On a, pour tout À E IR et toute f E E :
•Soit f E E telle que Na(f) =O. On a alors :
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D'après le Corollaire du § 5.2.2, on conclut : f = O.
Ceci montre que N a est une norme sur E.
Les méthodes à retenir
Approximation par des polynômes
Les termes de la série sont tous ~ 0 et leur
somme est nulle, donc chaque terme est nul.
Par hypothèse, a est supposé non nul.
La démonstration de ce Corollaire, qui est
un exercice classique, utilise le premier
théorème de Weierstrass.
• Lorsqu'intervient une condition type V n E N, deg( P,,) ~ N, où N est fixé et ( ? 11 ) 11 est une suite de polynômes, penser à utiliser l'équivalence des normes dans le lR-espace vectoriel normé de dimension finie lRN [X]
(ex. 5.2.7 à 5.2.9).
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Pour obtenir une approximation uniforme par des polynômes satisfaisant une condition supplémentaire,
combiner le premier théorème de Weierstrass et cette condition (ex. 5 .2.16 à 5 .2.18). S'il s' agit d'approcher f et
! ' ,commencer par approcher f' puis appliquer le théorème sur convergence uniforme et intégration (ex. 5.2.18).
Pour s'entraîner sur la manipulation des polynômes de Bernstein, utilisés dans une démonstration du premier
théorème de Weierstrass, le lecteur dispose d'exercices d'application directe (ex. 5.2.24 à 5.2.28) et d' exercices
nécessitant quelques calculs (ex. 5.2.29 à 5.2.31).
Les exercices 5.2.3 à 5.2.9 n'utilisent pas le théorème de
Weierstrass.
5.2.3 Soit (P 11 ) 11 EN une suite de polynômes à coefficients
réels telle que, pour tout segment J de IR , (P 11 ) 11 EN converge uniformément vers 0 sur J.
Peut-on affirmer que (P 11 ) 11 EN converge uniformément
vers 0 sur IR?
5.2.4 Donner un exemple de suite (P 11 ) 11 EN de polynômes
telle que (P 11 ) 11 EN converge uniformément sur [-1; l] et
que, pour tout intervalle l contenant strictement [-1; 1],
(P 11 ) 11 EN ne converge pas uniformément sur/.
5.2.5 Soient 1 un intervalle de IR , P E IR[X] tel que
P(l) c 1 et P #X , (P 11 ) 11 ;;, 1 la suite d'applications de 1
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