-0
0
c
:J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
308
Chapitre S ·Suites et séries d'applications
Ce résultat, qui n'est pas explicitement au
programme, se rencontre souvent
comme exercice.
4) La convergence uniforme sur tout segment J d'un intervalle l n'entraîne pas, en général,
la convergence uniforme sur/, même pour une suite de polynômes, cf. exercice 5.2.3.
5) La convergence uniforme sur un segment, [-1; l] par exemple, ne permet pas de déduire
une convergence uniforme sur un intervalle contenant strictement [-1; l], cf. exercice 5.2.4.
6) Le premier théorème de Weierstrass peut être interprété en terme de densité, cf. exercice
5.2.15.
Soit f: [a ; b] -----+ ][{ continue. Si, pour tout n de N, 1b xn f(x) dx = 0 , alor~
f =0.
'-Preuve
D'après l'hypothèse et puisque tout polynôme est combinaison linéaire de monômes, on a, pour tout polynôme P : lb P(x)f(x) dx =O.
D'après le 1er théorème de Weierstrass, il existe une suite (Pn)n eN de polynômes convergeant uniformément sur [a; b] vers f. On a, pour tout n de N :
0 ,,;; J,b l/(x)l
2 dx = J,b (!(x) - Pn(x))f(x) dx ,,;; (b-a)llf - Pnl lool l/lloo·
a
a
Comme 11 / - Pn l loo -----+ 0, on déduit J,b If (x)l
2 dx = 0 , d'où, puisque f est continue sur [a; b] ,
1100
a
f =0.
Exemple d'utilisation du premier théorème de Weierstrass
On note E = C([O; l]; JR) et, pour tout a E ]O; l[ et f E E : Na (f) = ~ a
11 l l1 t
11 f (t) dtl.
11=0
0
Établir que, pour tout a E ]O; 1 [, Na est une norme sur E.
Solutiott
Soit a E ]O; l[.
•Soit/ E E. On a: Vn E N, 0 ~ a" l1
1
t"f(t)dt l ~ a"ll / lloo·
Puisque la 1 < 1, la série géométrique L a
11 converge, donc, par théorème de
majoration pour des séries à termes réels ~ 0, la série L.:a
11
I 1
1
t
11 f(t ) dt l
n~O
0
converge, d'où l'existence de Na(/).
D'autre part, il est connu que E est un JR -espace vectoriel.
Cottseils
S'assurer d'abord de l'existence de Na
intervenant dans l'énoncé.
0
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Chapitre S ·Suites et séries d'applications
Ce résultat, qui n'est pas explicitement au
programme, se rencontre souvent
comme exercice.
4) La convergence uniforme sur tout segment J d'un intervalle l n'entraîne pas, en général,
la convergence uniforme sur/, même pour une suite de polynômes, cf. exercice 5.2.3.
5) La convergence uniforme sur un segment, [-1; l] par exemple, ne permet pas de déduire
une convergence uniforme sur un intervalle contenant strictement [-1; l], cf. exercice 5.2.4.
6) Le premier théorème de Weierstrass peut être interprété en terme de densité, cf. exercice
5.2.15.
Soit f: [a ; b] -----+ ][{ continue. Si, pour tout n de N, 1b xn f(x) dx = 0 , alor~
f =0.
'-Preuve
D'après l'hypothèse et puisque tout polynôme est combinaison linéaire de monômes, on a, pour tout polynôme P : lb P(x)f(x) dx =O.
D'après le 1er théorème de Weierstrass, il existe une suite (Pn)n eN de polynômes convergeant uniformément sur [a; b] vers f. On a, pour tout n de N :
0 ,,;; J,b l/(x)l
2 dx = J,b (!(x) - Pn(x))f(x) dx ,,;; (b-a)llf - Pnl lool l/lloo·
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Comme 11 / - Pn l loo -----+ 0, on déduit J,b If (x)l
2 dx = 0 , d'où, puisque f est continue sur [a; b] ,
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f =0.
Exemple d'utilisation du premier théorème de Weierstrass
On note E = C([O; l]; JR) et, pour tout a E ]O; l[ et f E E : Na (f) = ~ a
11 l l1 t
11 f (t) dtl.
11=0
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Établir que, pour tout a E ]O; 1 [, Na est une norme sur E.
Solutiott
Soit a E ]O; l[.
•Soit/ E E. On a: Vn E N, 0 ~ a" l1
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Puisque la 1 < 1, la série géométrique L a
11 converge, donc, par théorème de
majoration pour des séries à termes réels ~ 0, la série L.:a
11
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0
converge, d'où l'existence de Na(/).
D'autre part, il est connu que E est un JR -espace vectoriel.
Cottseils
S'assurer d'abord de l'existence de Na
intervenant dans l'énoncé.