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5 .2 ·Approximation des fonctions d'une variable réelle
5.2 Approximation des fonctions
d'une variable réelle
5.2.1
Le théorème de Riemann-Lebesgue
(exercices 5.2.1 et 5.2.2) est l'application
la plus utile de ce théorème.
Approximation par des fonctions en escalier
ou affines par morceaux et continues
Dans ce§ 5.2.1, (a ,b) désigne un couple de réels tel que a < b.
Rappelons deux théorèmes d'approximation vus dans le§ 2.3.3.
---...
Pour toute application f : [a; b] ----+ E continue par morceaux, il existe une suite
(en : [a; b] ----+ E)n EN d'applications en escalier sur [a; b] convergeant uniformément vers/ sur [a ; b].
---..
Pour toute application f : [a; b] ----+ E continue, il existe une suite
(
5.2.1 Théorème de Riemann-Lebesgue sur un segment
Soitf: [a; b]--+ C continue par morceaux.
5.2.2 Théorème de Riemann-Lebesgue sur un intervalle
Soient 1 un intervalle de IR, f : I --+ C continue par
morceaux et intégrable sur /.
Montrer: lb f(t)e ixr dt-----'> O.
a
x ->+oo
Montrer: f f(t)eixtdt-----'> O.
f
x-> +oo
5.2.2
Ainsi, une suite d'applications de classe
C
00 peut converger uniformément vers
une application continue mais qui n'est
pas elle-même de classe c
00 •
(Utiliser l'exercice 5.2.1).
Approximation par des polynômes
On admet le théorème suivant.
1er théorème de Weierstrass
---...
Pour toute application continue f: [a; b]----+ IK, il existe une suite
(Pn : [a; b]----+ IK)nEN de polynômes convergeant uniformément vers/sur [a; b] .
Remarques:
7) Le lecteur trouvera trois démonstrations du 1er théorème de Weierstrass, dans les exercices
5.2.21 à 5.2.23 p. 311.
2) Le 1er théorème de Weierstrass peut s'exprimer par: l'ensemble des applications polynomiales de [a ; b] dans OC est dense dans C([a ; b ] ; OC) muni de 11 • 11 00 •
3) Puisque toute application polynomiale de [a ; b] dans OC est de classe C
00 , on déduit du
1er théorème de Weierstrass le résultat suivant :
Toute application continue de [a ; b] dans OC est limite uniforme sur [a; b] d'une suite d'applications de classe C
00 sur [a ; b].
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5.2 Approximation des fonctions
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5.2.1
Le théorème de Riemann-Lebesgue
(exercices 5.2.1 et 5.2.2) est l'application
la plus utile de ce théorème.
Approximation par des fonctions en escalier
ou affines par morceaux et continues
Dans ce§ 5.2.1, (a ,b) désigne un couple de réels tel que a < b.
Rappelons deux théorèmes d'approximation vus dans le§ 2.3.3.
---...
Pour toute application f : [a; b] ----+ E continue par morceaux, il existe une suite
(en : [a; b] ----+ E)n EN d'applications en escalier sur [a; b] convergeant uniformément vers/ sur [a ; b].
---..
Pour toute application f : [a; b] ----+ E continue, il existe une suite
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5.2.1 Théorème de Riemann-Lebesgue sur un segment
Soitf: [a; b]--+ C continue par morceaux.
5.2.2 Théorème de Riemann-Lebesgue sur un intervalle
Soient 1 un intervalle de IR, f : I --+ C continue par
morceaux et intégrable sur /.
Montrer: lb f(t)e ixr dt-----'> O.
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x ->+oo
Montrer: f f(t)eixtdt-----'> O.
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5.2.2
Ainsi, une suite d'applications de classe
C
00 peut converger uniformément vers
une application continue mais qui n'est
pas elle-même de classe c
00 •
(Utiliser l'exercice 5.2.1).
Approximation par des polynômes
On admet le théorème suivant.
1er théorème de Weierstrass
---...
Pour toute application continue f: [a; b]----+ IK, il existe une suite
(Pn : [a; b]----+ IK)nEN de polynômes convergeant uniformément vers/sur [a; b] .
Remarques:
7) Le lecteur trouvera trois démonstrations du 1er théorème de Weierstrass, dans les exercices
5.2.21 à 5.2.23 p. 311.
2) Le 1er théorème de Weierstrass peut s'exprimer par: l'ensemble des applications polynomiales de [a ; b] dans OC est dense dans C([a ; b ] ; OC) muni de 11 • 11 00 •
3) Puisque toute application polynomiale de [a ; b] dans OC est de classe C
00 , on déduit du
1er théorème de Weierstrass le résultat suivant :
Toute application continue de [a ; b] dans OC est limite uniforme sur [a; b] d'une suite d'applications de classe C
00 sur [a ; b].
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