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0
c
:J
0
(V)
.--t
0
N
@
.......
J::
O'l
·;::::
>0.
0
u
306
Chapitre S • Suites et séries d'applicatio ns
5.1.31 a) Soient a E IR, cp :]O; +oo[-----+ IR continue par
morceaux et telle que x ~ e'n cp(x) soit intégrable sur
]O; +oo[.
Montrer :
i
n (
ax ) n
1 + -
cp(x) dx ~
O
n
noo
r +oo
Jo eaxcp(x) dx.
b) En déduire :
1) Va E]l ; +oo[,
l + :::_ e-ax dx ~ - -
i
n (
) "
1
0
n
noo a - 1
2) Vb E] - oo; 1[, [" (1 - ::_ ) nebx dx ~ _ l _
Jo
n
noo l - b
3) Ve E]O; +oo[, [" (1 - : : : _)\c-l dx ~ f (c).
k
n
noo
5.1.32 a) On note, pour n E N* :
[" (
) " 1
et l n =Ji 1 - ~ ::;:- dx .
a) Montrer:
~
J 1- e- X
!,, ~
dx
~
1 e-~
et 1,, ~
--dx.
noo
O
X
noo
O X
/3) Montrer :
b) En déduire :
n l
Vn E N*, 111 - l n= L k - In n.
k = I
fo
l 1- e-x - e- ~
- - - - - dx=y,
X
y constante d'Euler.
5.1.33 a) Soient cp :]0; +oo[-----+ IR continue par morceaux, e t (f,, : ]0; +oo[-----+ IR)neN une suite d'applications, continues par morceaux, convergeant simplement
sur ]O; +oo[ vers une application f : ]O; +oo[-----+ IR . On
suppose:
I
• V'n EN, V'x E]O; +oo[, lf,,(x) I ~ lf(x) I
• f est continue par morceaux sur ]0; +oo[
• cpf est intégrable sur ]0; +oo[.
Montrer : [" cp(x)f,,(x) dx ~ { +oo cp(x)f(x) dx .
lo
noo lo
b) En déduire: fo +oo e- x ln x dx =-y,
y constante d'Euler.
5.1.34 For mule de Stirling pour la fonction r
a) Montrer:
V'x E]O; +oo(, f(x + 1) = (~rJx ~ f(x,t) dt,
où on a noté
si t ~ -,j"X
f (x,t) ~ [ ( 1+ ; r e- fi• si t > -,j"X.
b) a) Montre r : V'x E [1 ; +oo[, V't E [O; +oo[,
0 ~ f(x,t) ~ (l + t)e1
•
/3) Montrer : V'x E [0 ; +oo[, V't E [ -,j"X; 0],
,2
0 ~ f(x,t) ~ e-2.
c) En déduire : r(x + 1) ,....., (: : :)x 5X.
x-->+oo e
Cette formule généralise la formule de Stirl ing vue dans le
§ 4.3.7 4), n ! ,....., (~)". JSm.
noo e
5.1.35 Formule de Gauss pour la fonction r
a) Montrer :
V'x E]O; +oo[,
[" (1 - .:_ ) " tx- I dt ~ f(x).
Jo
n
noo
b) En déduire la formule de Gauss :
nxn !
V'x E]O; +oo[, r~)= lim
.
noo x (x + 1) . .. (x + n)
5.1 .36 Formule de Weierstrass pour la fonction r
Etablir:
V'x E]O; +oo[, - - = xeY~ li m
1 + - e- r .
1
.
n " (( X) x)
r(x)
noo k= I
k
(Utiliser la formule de Gauss, exercice 5.1.35).
5.1 .37 Fonction 1/J
On note 1/J : ]O; +oo[-----+ IR l'application défi nie par :
r '(x)
Vx E]O; +oo[, 'l/J(x) = - - .
r(x)
a) Démontrer :
1
+oo
1
V'x E]O; +oo[, 'l/J(x) = - - - y+ x L
.
X
n= l n(x+n)
b) En dédui re :
LJ y= -r'(l )
2) fo +oo e-x ln x dx =-y .
(Cf. aussi exercice 5. l.33) .
5.1.38 On note, pour n E N, fn : [0; I ] -:---+ IR .
x~s1 n nx
Montrer qu'aucune suite extraite de (f,,)neN ne converge
simple ment sur [0; 1] vers 0 (on pourra considérer
fol ( fa(n ) (x))
2
dx pour une extractrice a).
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Chapitre S • Suites et séries d'applicatio ns
5.1.31 a) Soient a E IR, cp :]O; +oo[-----+ IR continue par
morceaux et telle que x ~ e'n cp(x) soit intégrable sur
]O; +oo[.
Montrer :
i
n (
ax ) n
1 + -
cp(x) dx ~
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Jo eaxcp(x) dx.
b) En déduire :
1) Va E]l ; +oo[,
l + :::_ e-ax dx ~ - -
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2) Vb E] - oo; 1[, [" (1 - ::_ ) nebx dx ~ _ l _
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3) Ve E]O; +oo[, [" (1 - : : : _)\c-l dx ~ f (c).
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5.1.32 a) On note, pour n E N* :
[" (
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a) Montrer:
~
J 1- e- X
!,, ~
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O
X
noo
O X
/3) Montrer :
b) En déduire :
n l
Vn E N*, 111 - l n= L k - In n.
k = I
fo
l 1- e-x - e- ~
- - - - - dx=y,
X
y constante d'Euler.
5.1.33 a) Soient cp :]0; +oo[-----+ IR continue par morceaux, e t (f,, : ]0; +oo[-----+ IR)neN une suite d'applications, continues par morceaux, convergeant simplement
sur ]O; +oo[ vers une application f : ]O; +oo[-----+ IR . On
suppose:
I
• V'n EN, V'x E]O; +oo[, lf,,(x) I ~ lf(x) I
• f est continue par morceaux sur ]0; +oo[
• cpf est intégrable sur ]0; +oo[.
Montrer : [" cp(x)f,,(x) dx ~ { +oo cp(x)f(x) dx .
lo
noo lo
b) En déduire: fo +oo e- x ln x dx =-y,
y constante d'Euler.
5.1.34 For mule de Stirling pour la fonction r
a) Montrer:
V'x E]O; +oo(, f(x + 1) = (~rJx ~ f(x,t) dt,
où on a noté
si t ~ -,j"X
f (x,t) ~ [ ( 1+ ; r e- fi• si t > -,j"X.
b) a) Montre r : V'x E [1 ; +oo[, V't E [O; +oo[,
0 ~ f(x,t) ~ (l + t)e1
•
/3) Montrer : V'x E [0 ; +oo[, V't E [ -,j"X; 0],
,2
0 ~ f(x,t) ~ e-2.
c) En déduire : r(x + 1) ,....., (: : :)x 5X.
x-->+oo e
Cette formule généralise la formule de Stirl ing vue dans le
§ 4.3.7 4), n ! ,....., (~)". JSm.
noo e
5.1.35 Formule de Gauss pour la fonction r
a) Montrer :
V'x E]O; +oo[,
[" (1 - .:_ ) " tx- I dt ~ f(x).
Jo
n
noo
b) En déduire la formule de Gauss :
nxn !
V'x E]O; +oo[, r~)= lim
.
noo x (x + 1) . .. (x + n)
5.1 .36 Formule de Weierstrass pour la fonction r
Etablir:
V'x E]O; +oo[, - - = xeY~ li m
1 + - e- r .
1
.
n " (( X) x)
r(x)
noo k= I
k
(Utiliser la formule de Gauss, exercice 5.1.35).
5.1 .37 Fonction 1/J
On note 1/J : ]O; +oo[-----+ IR l'application défi nie par :
r '(x)
Vx E]O; +oo[, 'l/J(x) = - - .
r(x)
a) Démontrer :
1
+oo
1
V'x E]O; +oo[, 'l/J(x) = - - - y+ x L
.
X
n= l n(x+n)
b) En dédui re :
LJ y= -r'(l )
2) fo +oo e-x ln x dx =-y .
(Cf. aussi exercice 5. l.33) .
5.1.38 On note, pour n E N, fn : [0; I ] -:---+ IR .
x~s1 n nx
Montrer qu'aucune suite extraite de (f,,)neN ne converge
simple ment sur [0; 1] vers 0 (on pourra considérer
fol ( fa(n ) (x))
2
dx pour une extractrice a).