5.1.22 Donner trois exemples de suites d'applications de
lH! dans lH! , continues, bornées, intégrables et de carrés
intégrabl es, telles que :
1
N1 Cfn)-----+ 0
noo
N2(J, 1 )-f-+ 0
noo
N oo Cfn)-f-+ 0
noo
1
N 1 (hn)-f-+ 0
noo
N2(hn)-f-+ 0
noo
N oo (hn)-----+ O.
noo
5.1.23 On note CB(JH!,q l'ensemble des applications
continues bornées de lH! dan s C, Co (JH!,q l'ensemble des
applications continues de lH! dans C et de limite null e e n
-oo et + oo, K(JH!, q l'ensemble des applications continues de lH! dans C nulles en dehors d'un segment (qui
dépend de l'application).
On munit l'algèbre B(JH!,C) des applications bornées de lH!
dans C de la norme Il · lloo·
a) Montrer:
1) CB(JH!,q est une sous-algèbre de B(JH!,q
2) K(JH!,q et Co (JH!,C) sont des idéaux de l'algèbre
CB(JH!,C) , c'est-à-dire :
l
K(JH!, q =f. 0
Va E C, V f ,g E K(JH!,C), af + g E K(JH!,C)
V f E K(JH!, C), V et de même pour Co(JH!,q .
b) Montrer :
1) CB(JH!,C) e st fermé dan s B(JH!,C)
2) Co(JH!,q est fern1é dans B(JH!,C)
3) L'adhérence de K(JH!,q dans B(JH!,q e st égale à
Co(JH!,q
4) La boule unité fermée {/ E K(JH!,C); ll f lloo :( 1) de
K(JH!,q n'est pas compacte.
c)
Montrer
que
K(JH!,q
e st
de nse
dans
(c.c
1 clR,q,11 · 11i).
5.1.24 Déterminer les limites, quand n tend vers +oo , de :
a) Io i tan" x dx
b) r +oo
dx
Jo x n +ex
l o
+oo xn
c)
dx
0
xn+2 + 1
l o
+oo xn
d)
dx
0
x 2n + 1
lo
+oo
1
e)
dx , p E]O; +oo[ fi xé
0
(xP + l)n
l o
+oo
1
f)
dx
0
1 +x2 +x"e- x
g) fo+oo (x 2 n + x" + 1) - * dx
h) r +oo . e- ; 2 dx
lo 1 +x
r +oo .2
i) Jo e--' sin" x dx
l o
+oo ne- x
2
sin. x
)
dx
J 0
1 + n2x2
/
+oo sin"x
k)
- 2- dx.
- OO
X
5.1.25 Etablir : Va E]O; + oo[ ,
5 .1 ·Suites d 'applications
fo' xa -l (1 - ~r dx ----;;;: fo' x
11
-
1 e - x dx .
5.1.26
Soit f : ]0; l] -----+ C continue par morceaux,
intégrable sur ]O; l]. Trouver lim f
1
f(x) dx.
noo Jo 1 + nx
5.1.27 Soit!: [- 1; l] -----+ lH! continue.
Trouver lim f
1
lcos n: x
2
+ (f(x)~
2
) I" dx.
noo - 1
1 + (f (x))
5.1.28 Montrer :
a) [" f 1 + (1 - ~)" dx - n
Jo Y
n
noo
li
] + l
c
b)
" .J1 + x" dx - -, où C E JH!* est à calculer
J
noo n
l o
+oo
dx
n: ,J2
rj
-
O
(x4 + l)(x2 + a2) a->+oo 4a2 ·
5.1.29 Soient f :]O; +oo[----+ lH! continue, décroissante,
intégrable sur ]O; l] , et (e,, ) 11 EN une suite à ternies dans lR+
convergeant vers O.
Trouver lim - L f en + - .
l n
(
k)
noo n k = I
n
5.1.30 a) Montrer : Vn E N*,
{ Î s in2n + 1 x dx = _l_ { .fii (1 - t2 )n dt.
lo
Jn lo
n
b) Montrer:
{ .fii (1 -t
2
)
11
dt -----+ {+oo e12 dt.
Jo
n
noo Jo
c) On rappelle (formule de Wallis, cf. § 4.3.7 4)) :
f Î sin Px dx - ~.
lo
poo Y 2P
Retrouver ainsi la valeur de l'intégrale de Gauss :
r +oo e - 12 dt = .,/ii .
lo
2
305
lH! dans lH! , continues, bornées, intégrables et de carrés
intégrabl es, telles que :
1
N1 Cfn)-----+ 0
noo
N2(J, 1 )-f-+ 0
noo
N oo Cfn)-f-+ 0
noo
1
N 1 (hn)-f-+ 0
noo
N2(hn)-f-+ 0
noo
N oo (hn)-----+ O.
noo
5.1.23 On note CB(JH!,q l'ensemble des applications
continues bornées de lH! dan s C, Co (JH!,q l'ensemble des
applications continues de lH! dans C et de limite null e e n
-oo et + oo, K(JH!, q l'ensemble des applications continues de lH! dans C nulles en dehors d'un segment (qui
dépend de l'application).
On munit l'algèbre B(JH!,C) des applications bornées de lH!
dans C de la norme Il · lloo·
a) Montrer:
1) CB(JH!,q est une sous-algèbre de B(JH!,q
2) K(JH!,q et Co (JH!,C) sont des idéaux de l'algèbre
CB(JH!,C) , c'est-à-dire :
l
K(JH!, q =f. 0
Va E C, V f ,g E K(JH!,C), af + g E K(JH!,C)
V f E K(JH!, C), V et de même pour Co(JH!,q .
b) Montrer :
1) CB(JH!,C) e st fermé dan s B(JH!,C)
2) Co(JH!,q est fern1é dans B(JH!,C)
3) L'adhérence de K(JH!,q dans B(JH!,q e st égale à
Co(JH!,q
4) La boule unité fermée {/ E K(JH!,C); ll f lloo :( 1) de
K(JH!,q n'est pas compacte.
c)
Montrer
que
K(JH!,q
e st
de nse
dans
(c.c
1 clR,q,11 · 11i).
5.1.24 Déterminer les limites, quand n tend vers +oo , de :
a) Io i tan" x dx
b) r +oo
dx
Jo x n +ex
l o
+oo xn
c)
dx
0
xn+2 + 1
l o
+oo xn
d)
dx
0
x 2n + 1
lo
+oo
1
e)
dx , p E]O; +oo[ fi xé
0
(xP + l)n
l o
+oo
1
f)
dx
0
1 +x2 +x"e- x
g) fo+oo (x 2 n + x" + 1) - * dx
h) r +oo . e- ; 2 dx
lo 1 +x
r +oo .2
i) Jo e--' sin" x dx
l o
+oo ne- x
2
sin. x
)
dx
J 0
1 + n2x2
/
+oo sin"x
k)
- 2- dx.
- OO
X
5.1.25 Etablir : Va E]O; + oo[ ,
5 .1 ·Suites d 'applications
fo' xa -l (1 - ~r dx ----;;;: fo' x
11
-
1 e - x dx .
5.1.26
Soit f : ]0; l] -----+ C continue par morceaux,
intégrable sur ]O; l]. Trouver lim f
1
f(x) dx.
noo Jo 1 + nx
5.1.27 Soit!: [- 1; l] -----+ lH! continue.
Trouver lim f
1
lcos n: x
2
+ (f(x)~
2
) I" dx.
noo - 1
1 + (f (x))
5.1.28 Montrer :
a) [" f 1 + (1 - ~)" dx - n
Jo Y
n
noo
li
] + l
c
b)
" .J1 + x" dx - -, où C E JH!* est à calculer
J
noo n
l o
+oo
dx
n: ,J2
rj
-
O
(x4 + l)(x2 + a2) a->+oo 4a2 ·
5.1.29 Soient f :]O; +oo[----+ lH! continue, décroissante,
intégrable sur ]O; l] , et (e,, ) 11 EN une suite à ternies dans lR+
convergeant vers O.
Trouver lim - L f en + - .
l n
(
k)
noo n k = I
n
5.1.30 a) Montrer : Vn E N*,
{ Î s in2n + 1 x dx = _l_ { .fii (1 - t2 )n dt.
lo
Jn lo
n
b) Montrer:
{ .fii (1 -t
2
)
11
dt -----+ {+oo e12 dt.
Jo
n
noo Jo
c) On rappelle (formule de Wallis, cf. § 4.3.7 4)) :
f Î sin Px dx - ~.
lo
poo Y 2P
Retrouver ainsi la valeur de l'intégrale de Gauss :
r +oo e - 12 dt = .,/ii .
lo
2
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