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J::
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0
u
304
Chapitre S • Suites et séries d'applications
Les méthodes à retenir
Convergence et intégration sur un intervalle quelconque,
pour une suite d'applications
•
•
•
Les hypothèses du théorème de convergence dominée ne doivent pas être inconsidérément modifiées ; les exercices 5.1.20 à 5.1.22 traitent de divers contrexemples.
Pour déterminer la limite d'une suite d'intégrales, question importante et fréque nte en Analyse, on essaiera
souvent, par un raisonnement approprié, de permuter intégrale et limite.
Pour déterminer la limite d'une suite d'intégrales, on essaiera d 'abord des méthodes élémentaires et, si cellesci échouent ou sont malcommodes, on essaiera d ' appliquer le théorème de convergence donùnée, quelquefois le
théorème sur convergence uniforme et intégration sur un segment (§ 5.1.4 th. p. 296).
Étant donné une suite d'intégrales (1 fn) n dont on cherche l'éventuelle limite, voir si U 11 ) 11 converge simplement sur l vers une certaine application f, puis voir si 1 Un - f) ----+ 0 par des majorations convenables (ex.
1
noo
5. l.24 a) à d), h), j)). Il peut être nécessaire de transformer 11 Un - f) 1 par changement de variable, intégration
par parties, relation de Chasles ...
• Pour appliquer le théorème de convergence dominée, s'attacher à montrer clairement que les hypothèses sont
réunies (ex. 5.1.24 a) à k), 5.1.25, 5.1.35).
• Pour trouver un équivalent simple d'une intégrale 1 f 11 dans laquelle, a priori, l' intervalle et la fonction
!,,
dépendent den (ex. 5.1.28), essayer par changement de variable, intégration par parties, relation de Chasles, etc,
de se ramener à une recherche de linùte d ' une suite d ' intégrales sur un intervalle fixe.
"
• Le calcul des intégrales de Wallis: / 11 = 1
2
sin
11 x dx , n E N, est très utile en analyse; on a vu (cf. Analyse
MPSI, § 6. 4. 41)) que, pour toutp EN, on a:
(2p)! 7r
l -
-
2 p - (2P p!) 2 2'
(2P p!)2
l 2p+ 1 = -( 2_p_+_ l) - !
De plus, on déduit (cf. § 4.3.7) : ln "" frr (ex. 5.1.30) et la formule de Stirling:
noo v 2;;
n! ,.._, (~)n .J2mi,.
noo e
5.1.20 Donner un exemple d'intervalle T et de suite
Un : l --+ IR)n eN• telle que :
• Pour tout n de N* , J,, est intégrable sur I
• (f, 1 ) 11 eN' converge uniformément sur I
vers une application notée f
• f n'est pas intégrable sur/.
5.1.21 Donner un exemple d'intervalle l et de suite
Un : l ---+ IR)neN• telle que :
• Pour tout n de N*, fn est intégrable sur 1
• Cfn)ne N• converge uniformément sur l
vers une application notée f
• f est intégrable sur I
• f fn--f-7 f J.
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Chapitre S • Suites et séries d'applications
Les méthodes à retenir
Convergence et intégration sur un intervalle quelconque,
pour une suite d'applications
•
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Les hypothèses du théorème de convergence dominée ne doivent pas être inconsidérément modifiées ; les exercices 5.1.20 à 5.1.22 traitent de divers contrexemples.
Pour déterminer la limite d'une suite d'intégrales, question importante et fréque nte en Analyse, on essaiera
souvent, par un raisonnement approprié, de permuter intégrale et limite.
Pour déterminer la limite d'une suite d'intégrales, on essaiera d 'abord des méthodes élémentaires et, si cellesci échouent ou sont malcommodes, on essaiera d ' appliquer le théorème de convergence donùnée, quelquefois le
théorème sur convergence uniforme et intégration sur un segment (§ 5.1.4 th. p. 296).
Étant donné une suite d'intégrales (1 fn) n dont on cherche l'éventuelle limite, voir si U 11 ) 11 converge simplement sur l vers une certaine application f, puis voir si 1 Un - f) ----+ 0 par des majorations convenables (ex.
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• Pour appliquer le théorème de convergence dominée, s'attacher à montrer clairement que les hypothèses sont
réunies (ex. 5.1.24 a) à k), 5.1.25, 5.1.35).
• Pour trouver un équivalent simple d'une intégrale 1 f 11 dans laquelle, a priori, l' intervalle et la fonction
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dépendent den (ex. 5.1.28), essayer par changement de variable, intégration par parties, relation de Chasles, etc,
de se ramener à une recherche de linùte d ' une suite d ' intégrales sur un intervalle fixe.
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• Le calcul des intégrales de Wallis: / 11 = 1
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11 x dx , n E N, est très utile en analyse; on a vu (cf. Analyse
MPSI, § 6. 4. 41)) que, pour toutp EN, on a:
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l 2p+ 1 = -( 2_p_+_ l) - !
De plus, on déduit (cf. § 4.3.7) : ln "" frr (ex. 5.1.30) et la formule de Stirling:
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5.1.20 Donner un exemple d'intervalle T et de suite
Un : l --+ IR)n eN• telle que :
• Pour tout n de N* , J,, est intégrable sur I
• (f, 1 ) 11 eN' converge uniformément sur I
vers une application notée f
• f n'est pas intégrable sur/.
5.1.21 Donner un exemple d'intervalle l et de suite
Un : l ---+ IR)neN• telle que :
• Pour tout n de N*, fn est intégrable sur 1
• Cfn)ne N• converge uniformément sur l
vers une application notée f
• f est intégrable sur I
• f fn--f-7 f J.
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