5.1 ·Suites d'applications
Détermination d'un équivalent d'une intégrale dépendant d'un paramètre entier, par utilisation du théorème
de convergence dominée
Soit f : [ -1 ; 1] -----+ IR continue telle que f (0) i- O. Trouver un équivalent simple de I" = f
1
f (x} 2 dx lorsque l'entier n tend
l "nfi ·
1 1 + n X
vers 1 m.
-
Solution
D'abord, pour tout n E N*, I 11 existe comme intégrale d'une fonction continue sur
un segment.
.
1
'
f" 1(~)
On a, par le changement de variable t = nx : I,, = - 1 11 , ou 1 11 =
- - - 2 dt.
n
_,, 1 + t
Notons, pour n E N* :
si - n ~ t ~ n
si t < -n ou t > n.
•Pour tout n E N* , J,, est continue par morceaux (car continue) sur IR.
• Soit t E R Pour n assez grand, on a t E [-n; n], donc f,, (t) = f ( ~ ) 2
, et donc,
1 + t
f(O)
comme f est continue en 0 : f,, (t) -----+ - - 2
•
1100
1 + t
f(O)
Notons g : IR -----+ IR, t f----+ g(t) = 1
+ t 2
.
0
d
f,
c .s.
n a one : " -----+ g .
1100
• g est continue par morceaux (car continue) sur R
• On a . 'v' n E N* 'v' t E IR 1 f, (t) 1 = 1 f ( ~) 1 ~ 11 f l loo
•
'
'
Il
1 + t 2 "" 1 + t 2 '
et l'application
ll fl loo
2
1 + t
est continue par morceaux (car continue),
~ 0 et intégrable sur IR.
D'après le théorème de convergence dominée :
f
+oo
f +oo f(O)
1 11 -----+
g(t) dt=
- - 2 dt= f(O)[ Arctantr: = rrf(O).
1100
-OO
-OO
} + f
On a donc: 1 11 = nf(O) + 0(1), d'où:
Comme f (0) =/= 0 , on conclut: I 11 noo
In = nfn(O) + o( ~).
nf (0)
n
Conseils
On s'assure de l'existence de / 11 pour
n E fi:!*.
On transforme l'écriture de / 11 de manière à
ramener la recherche d'un équivalent (de
1 11 ) à la valeur d'une limite (de J 11 ).
On va essayer d'appliquer le théorème de
convergence dominée. À cet effet, il faut
définir les fonctions sur un même intervalle
fixe (indépendant den), d'où l'artifice
consistant à prolonger la fonction
envisagée, connue sur [- n; n], par 0 en
dehors de [-n ; n].
Mise en place des quatre points de
l'hypothèse du théorème de convergence
dominée.
nassezgrandsignifieici:n ~ ltl.
D'après le théorème fondamental,/ est
bornée car f est continue sur le segment
[ -1 ; 1]. On peut donc faire intervenir
ll f lloo·
llf lloo
1
cp(t ) ~ - 2
-
~ Oet t i-+ 2 est
t ->±00
1
1
intégrable sur] - oo; - 1] et sur [ 1; + oo[,
exemple de Riemann en ± oo, 2 > 1.
n
n
Arctan t --+ - , Arctan t --+ - - .
t->+oo 2
/-'>-OO
2
L'énoncé suppose f (0) # 0 de façon à
pouvoir exprimer la conclusion à l'aide de
la notion d'équivalent.
303
Détermination d'un équivalent d'une intégrale dépendant d'un paramètre entier, par utilisation du théorème
de convergence dominée
Soit f : [ -1 ; 1] -----+ IR continue telle que f (0) i- O. Trouver un équivalent simple de I" = f
1
f (x} 2 dx lorsque l'entier n tend
l "nfi ·
1 1 + n X
vers 1 m.
-
Solution
D'abord, pour tout n E N*, I 11 existe comme intégrale d'une fonction continue sur
un segment.
.
1
'
f" 1(~)
On a, par le changement de variable t = nx : I,, = - 1 11 , ou 1 11 =
- - - 2 dt.
n
_,, 1 + t
Notons, pour n E N* :
si - n ~ t ~ n
si t < -n ou t > n.
•Pour tout n E N* , J,, est continue par morceaux (car continue) sur IR.
• Soit t E R Pour n assez grand, on a t E [-n; n], donc f,, (t) = f ( ~ ) 2
, et donc,
1 + t
f(O)
comme f est continue en 0 : f,, (t) -----+ - - 2
•
1100
1 + t
f(O)
Notons g : IR -----+ IR, t f----+ g(t) = 1
+ t 2
.
0
d
f,
c .s.
n a one : " -----+ g .
1100
• g est continue par morceaux (car continue) sur R
• On a . 'v' n E N* 'v' t E IR 1 f, (t) 1 = 1 f ( ~) 1 ~ 11 f l loo
•
'
'
Il
1 + t 2 "" 1 + t 2 '
et l'application
ll fl loo
2
1 + t
est continue par morceaux (car continue),
~ 0 et intégrable sur IR.
D'après le théorème de convergence dominée :
f
+oo
f +oo f(O)
1 11 -----+
g(t) dt=
- - 2 dt= f(O)[ Arctantr: = rrf(O).
1100
-OO
-OO
} + f
On a donc: 1 11 = nf(O) + 0(1), d'où:
Comme f (0) =/= 0 , on conclut: I 11 noo
In = nfn(O) + o( ~).
nf (0)
n
Conseils
On s'assure de l'existence de / 11 pour
n E fi:!*.
On transforme l'écriture de / 11 de manière à
ramener la recherche d'un équivalent (de
1 11 ) à la valeur d'une limite (de J 11 ).
On va essayer d'appliquer le théorème de
convergence dominée. À cet effet, il faut
définir les fonctions sur un même intervalle
fixe (indépendant den), d'où l'artifice
consistant à prolonger la fonction
envisagée, connue sur [- n; n], par 0 en
dehors de [-n ; n].
Mise en place des quatre points de
l'hypothèse du théorème de convergence
dominée.
nassezgrandsignifieici:n ~ ltl.
D'après le théorème fondamental,/ est
bornée car f est continue sur le segment
[ -1 ; 1]. On peut donc faire intervenir
ll f lloo·
llf lloo
1
cp(t ) ~ - 2
-
~ Oet t i-+ 2 est
t ->±00
1
1
intégrable sur] - oo; - 1] et sur [ 1; + oo[,
exemple de Riemann en ± oo, 2 > 1.
n
n
Arctan t --+ - , Arctan t --+ - - .
t->+oo 2
/-'>-OO
2
L'énoncé suppose f (0) # 0 de façon à
pouvoir exprimer la conclusion à l'aide de
la notion d'équivalent.
303