'
294
Chapitre S ·Suites et séries d'applications
L'idée d'intercaler,entref (x ) etf (a)
par exemple, des éléments, tels f N (x)
etfN (a) ici,estsouventutile (ex.5.1.13,
5.1.14 p.296).
Silesf,, sontcontinues, sif,, ~ J et
11 00
si f n'est pas continue, alors la
convergence de (f,, ),. vers f n'est pas
uniforme.
La limite uniforme d'une suite de
fonctions continues est continue.
La convergence locale uniforme sur X
n'entraîne pas la convergence uniforme
sur X , comme le montre l'exemple :
X = fO; If,
f,, : x ~ x" , n E N.
En particulier, le cas où X est un
intervalle Ide R étant le plus fréquent
en pratique, on voit que
(f11 : l ~ E)11eN
converge
localement uniformément sur l si et
seulementsi,pourtout(a,b) de / 2 tel
que a ~ b , (f,,),, eN converge
uniformémentversf surf a ; b].
Résultat utile en pratique.
2ème méthode (n'utilisant pas le théorème de 5.1.2 p. 292)
Soit e > O. Puisque U n )n converge uniformément vers f , il existe N E N tel que:
\lx E X, \ln E N, (n ?: N => llf,, (x)- f(x)l l ~ ~).
Puisque f N est continue en a , il existe un voisinage V de a dans F tel que :
\lx E x n v,
ê
ll fN (X) - f N(a) ll ~ 3·
D'où, pour tout X de X n V,
ll f(x) - f(a) ll ~ llf(x) - f N(x) ll + ll f N(x) - f N (a)l l + ll f N(a) - f(a)ll
ê
ê
ê
~ 3 + 3 + 3 = ê.
Finalement, f est continue en a.
•
Remarque: Par contraposition, le théorème précédent permet, dans certains exemples, de
montrer la non-convergence uniforme.
Par exemple, (1 11 : [O; 1] ----+ lR ) converge simplement sur [O; l] vers f : [O; 1] ----+ lR
x~x"
n EN
{
Ü Si X E [Q; 1 [ 1
définie par f (x) =
1
.
, mais ne converge pas uniformément sur [O; 1] car
SI X= 1
chaque f 11 est continue en 1 et f ne l'est pas.
Soit Un : X -----+ E)nEN une suite d'applications.
Si { • pour tout n de N, fn est continue sur X
1
• Un)n EN converge uniformément sur X vers une application notée f '
alors f est continue sur X.
Il arrive souvent qu'il n'y ait pas convergence uniforme sur X , mais qu'il y ait convergence uniforme sur certaines parties de X. D'où la définition suivante.
~
Soient Un : X -----+ E)n EN une suite d'applications, f E Ex. On dit que Un)n EN
converge localement uniformément vers/ sur X si et seulement si (fn)n EN converge uniformément vers f sur toute partie compacte de X.
Rappelons (cf. 1.3.2 Théorème 2) que, puisque Fest de dimension finie, les parties compactes
de F sont les parties fermées bornées de F ; et les parties compactes de X sont les parties compactes de F incluses dans X.
Soient l un intervalle de ~. Un : l -----+ E)nEN une suite d'applications.
{
• pour tout n de N, f 11 est continue sur I
Si • Un)n converge localement uniformément sur l, vers une application
notée f : l -----+ E
alors f est continue sur I.
Preuve
D'après le Corollaire l , pour tout segment [a; b] inclus dans l , la restriction tl est continue sur
[a:b]
[a ; b].
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Chapitre S ·Suites et séries d'applications
L'idée d'intercaler,entref (x ) etf (a)
par exemple, des éléments, tels f N (x)
etfN (a) ici,estsouventutile (ex.5.1.13,
5.1.14 p.296).
Silesf,, sontcontinues, sif,, ~ J et
11 00
si f n'est pas continue, alors la
convergence de (f,, ),. vers f n'est pas
uniforme.
La limite uniforme d'une suite de
fonctions continues est continue.
La convergence locale uniforme sur X
n'entraîne pas la convergence uniforme
sur X , comme le montre l'exemple :
X = fO; If,
f,, : x ~ x" , n E N.
En particulier, le cas où X est un
intervalle Ide R étant le plus fréquent
en pratique, on voit que
(f11 : l ~ E)11eN
converge
localement uniformément sur l si et
seulementsi,pourtout(a,b) de / 2 tel
que a ~ b , (f,,),, eN converge
uniformémentversf surf a ; b].
Résultat utile en pratique.
2ème méthode (n'utilisant pas le théorème de 5.1.2 p. 292)
Soit e > O. Puisque U n )n converge uniformément vers f , il existe N E N tel que:
\lx E X, \ln E N, (n ?: N => llf,, (x)- f(x)l l ~ ~).
Puisque f N est continue en a , il existe un voisinage V de a dans F tel que :
\lx E x n v,
ê
ll fN (X) - f N(a) ll ~ 3·
D'où, pour tout X de X n V,
ll f(x) - f(a) ll ~ llf(x) - f N(x) ll + ll f N(x) - f N (a)l l + ll f N(a) - f(a)ll
ê
ê
ê
~ 3 + 3 + 3 = ê.
Finalement, f est continue en a.
•
Remarque: Par contraposition, le théorème précédent permet, dans certains exemples, de
montrer la non-convergence uniforme.
Par exemple, (1 11 : [O; 1] ----+ lR ) converge simplement sur [O; l] vers f : [O; 1] ----+ lR
x~x"
n EN
{
Ü Si X E [Q; 1 [ 1
définie par f (x) =
1
.
, mais ne converge pas uniformément sur [O; 1] car
SI X= 1
chaque f 11 est continue en 1 et f ne l'est pas.
Soit Un : X -----+ E)nEN une suite d'applications.
Si { • pour tout n de N, fn est continue sur X
1
• Un)n EN converge uniformément sur X vers une application notée f '
alors f est continue sur X.
Il arrive souvent qu'il n'y ait pas convergence uniforme sur X , mais qu'il y ait convergence uniforme sur certaines parties de X. D'où la définition suivante.
~
Soient Un : X -----+ E)n EN une suite d'applications, f E Ex. On dit que Un)n EN
converge localement uniformément vers/ sur X si et seulement si (fn)n EN converge uniformément vers f sur toute partie compacte de X.
Rappelons (cf. 1.3.2 Théorème 2) que, puisque Fest de dimension finie, les parties compactes
de F sont les parties fermées bornées de F ; et les parties compactes de X sont les parties compactes de F incluses dans X.
Soient l un intervalle de ~. Un : l -----+ E)nEN une suite d'applications.
{
• pour tout n de N, f 11 est continue sur I
Si • Un)n converge localement uniformément sur l, vers une application
notée f : l -----+ E
alors f est continue sur I.
Preuve
D'après le Corollaire l , pour tout segment [a; b] inclus dans l , la restriction tl est continue sur
[a:b]
[a ; b].