~ Intervention des suites de Cauchy.
On intercale f (x ) entre f p(x) et
f q (x ) .
ê
On choisit ici ' 3 car on a en vue
d'additionner trois termes.
Entre f (x ) et 1, on intercale f N' (x)
et IN'.
5.1.3
5.1 ·Suites d'applications
Preuve
J) Montrons que Cln)n est de Cauchy dans E. Soit e > O. Puisque (j, 1 ) 11 converge uniformément sur
X vers f, il existe N E N tel que :
\ln EN, \lx EX, (n ~ N ===} IJJ,,(x)- f(x) ll ~ ~).
Soit (p ,q) E N 2 tel quep ~ Net q ~ N. On a:
\lx EX,
e e
ll fp(x) - f q(x) JI ~ ll fp(x) - f(x) JI + llf(x) - fq(x) ll ~ 2 + 2 = e,
d'où, en faisant tendre x vers a : l ILp - Lq 11 ~ e .
Ceci montre: Ve > 0 , 3N E N, 'V(p ,q) E N 2 , ({: ! Z ===} IJ lp -Lq ll ~ e) ,
et donc (L,,),, est de Cauchy dans E.
2) Puisque E est de dimension finie, donc complet (cf. 1.4.2 Théorème 2), (/,,),, converge dans E vers un
élément noté L.
3) Montrons maintenant : f (x) -----+ L.
x~ a
Soit e > O. Puisque (f,,),, converge uniformément vers f , il existe Ni E N tel que
\lx E X, \ln E N, ( n ~ N J ===} 11 f,, (x) - f (x) 11 ~ ~).
Puisque L ,, ~ L, il existe N2 E N tel que: Vn EN, ( n ~ N2 ===} IJL ,, - Lli ~ ~).
Notons N ' = pge(N1 , N2) ; puisque f N' -----+ LN', il existe un voisinage V de a dans F tel que:
\lx EX n V ,
On a alors :
e
llfN' (x) - LN' ll ~ 3·
a
\lx EX n V, llf(x) - lll ~ ll f(x) - f N• (x) ll + llfN 1 (X) - lN· ll + llLN· - Lli
Ceci montre : f (x) -----+ L.
x~a
•
Remarque : La troisième partie de la conclusion du Théorème peut s'exprimer par :
on permute lim etlim :
lim (lim f ,, (x)) = lim(lim f ,, (x )).
x ___, , . a
noo
x ~ a n oo
noo x ~ a
Convergence uniforme et continuité
Dans ce§ 5.1.3, X désigne une partie non vide d'un JK-evn de dimension finie F.
Soient a E X, Un : X ----+ E)n une suite d'applications.
Si
{
• pour tout n de N, fn est continue en a
1
• Un)n converge uniformément sur X vers une application notée f '
alors f est continue en a.
Preuve
1 ère méthode
Ce théorème est une conséquence directe du théorème de 5.1.2 p. 292, puisque, si f 11 est continue en a ,
alors lim fn = f,, (a ).
a
293
On intercale f (x ) entre f p(x) et
f q (x ) .
ê
On choisit ici ' 3 car on a en vue
d'additionner trois termes.
Entre f (x ) et 1, on intercale f N' (x)
et IN'.
5.1.3
5.1 ·Suites d'applications
Preuve
J) Montrons que Cln)n est de Cauchy dans E. Soit e > O. Puisque (j, 1 ) 11 converge uniformément sur
X vers f, il existe N E N tel que :
\ln EN, \lx EX, (n ~ N ===} IJJ,,(x)- f(x) ll ~ ~).
Soit (p ,q) E N 2 tel quep ~ Net q ~ N. On a:
\lx EX,
e e
ll fp(x) - f q(x) JI ~ ll fp(x) - f(x) JI + llf(x) - fq(x) ll ~ 2 + 2 = e,
d'où, en faisant tendre x vers a : l ILp - Lq 11 ~ e .
Ceci montre: Ve > 0 , 3N E N, 'V(p ,q) E N 2 , ({: ! Z ===} IJ lp -Lq ll ~ e) ,
et donc (L,,),, est de Cauchy dans E.
2) Puisque E est de dimension finie, donc complet (cf. 1.4.2 Théorème 2), (/,,),, converge dans E vers un
élément noté L.
3) Montrons maintenant : f (x) -----+ L.
x~ a
Soit e > O. Puisque (f,,),, converge uniformément vers f , il existe Ni E N tel que
\lx E X, \ln E N, ( n ~ N J ===} 11 f,, (x) - f (x) 11 ~ ~).
Puisque L ,, ~ L, il existe N2 E N tel que: Vn EN, ( n ~ N2 ===} IJL ,, - Lli ~ ~).
Notons N ' = pge(N1 , N2) ; puisque f N' -----+ LN', il existe un voisinage V de a dans F tel que:
\lx EX n V ,
On a alors :
e
llfN' (x) - LN' ll ~ 3·
a
\lx EX n V, llf(x) - lll ~ ll f(x) - f N• (x) ll + llfN 1 (X) - lN· ll + llLN· - Lli
Ceci montre : f (x) -----+ L.
x~a
•
Remarque : La troisième partie de la conclusion du Théorème peut s'exprimer par :
on permute lim etlim :
lim (lim f ,, (x)) = lim(lim f ,, (x )).
x ___, , . a
noo
x ~ a n oo
noo x ~ a
Convergence uniforme et continuité
Dans ce§ 5.1.3, X désigne une partie non vide d'un JK-evn de dimension finie F.
Soient a E X, Un : X ----+ E)n une suite d'applications.
Si
{
• pour tout n de N, fn est continue en a
1
• Un)n converge uniformément sur X vers une application notée f '
alors f est continue en a.
Preuve
1 ère méthode
Ce théorème est une conséquence directe du théorème de 5.1.2 p. 292, puisque, si f 11 est continue en a ,
alors lim fn = f,, (a ).
a
293