-0
0
c
::J
0
Chapitre S ·Suites et séries d'applications
5.1.5
Soit f E IRR
montrer que la suite
(gn : IR -----+ IR)n;;, I définie par :
VnE N*,VxE IR, gn(X) =
(f(x))2
,
jucxn
2 + ~
converge uniformément vers lf l sur IR.
5.1 .6 Soit Cfn : X -----+ IR)n une suite d'applications
convergeant uniformément vers une application f. Montrer
(
Ifni )
.f
,
Ill
que - - -
2
converge um ormement vers - - -
2
.
l + fn 11
1 + J
5.1.7 a) Soient a ,b E IR
tels que
a < b,
Cfn : [a ; b] -----+ C)nEN une suite d'applications de classe
C 1 sur [a ; b] , f : [a; b] -----+ C une application continue.
On suppose:
l
c.s.
fn -----+ f
sur [a; b]
noo
3M E IR+ . Vn E N, Vx E [a; b] , lf /z (x)I ~ M.
c.u.
Démontrer: fn -----+ f sur [a ; b].
1100
b) Le résultat s'étend-il à IR au lieu de [a; b]?
5.1.8 Soient f : IR+ -----+ C continue telle que
f (0) = lim f = 0, et (g,, : IR+ -----+ C) 11 eN* la suite définie
+ oo
par:
Vn E N*, Vx E IR+, g,,(x) = f(nx)f (~).
c.u.
Montrer: g 11 -----+ 0 sur IR+.
noo
5.1.9 Soient k E N, f : [0; l] -----+ IR de classe c k+ l sur
[O; l] et telle que :
Vi E {0, . .. ,k},jCil(l) =O.
Pour chaque n de N*, on note fn : [O; l] -----+ IR
xi---+ nkxn f(x)
Montrer que (f 11 ) 11 converge uniformément vers 0 sur
[O; l].
5.1.10 a) Soient n EN, f : [0; 1] -----+ IR de classe C 11 +
1 .
a) Montrer qu'il existe P 11 E IR 11 [X] tel que:
Vk E {O, ... ,n}, Pn (~) = f (~).
{J) Montrer que, pour tout x de [O; l], il existe Cx dans
JO; 1 [ tel que :
f(x) - P
11
(x) = ( fI (x - ~)) J < n+l)(c.x ).
k=O
n
(n+l)!
b) On prend ici : Vx E [O; l], f (x) = xe-x.
1
a) Montrer: Vn E N, Vx E [O; l], lf(x) - Pn(x) I ~ - .
n!
c.u.
{J) En déduire : P 11 -----+ f sur [0; l].
noo
5.1.11 Soit f : [O; l] -----+ IR continue.
Etudier la convergence simple et la convergence unifom1e
de la suite Cfn : [0; l] -----+ IR)nEN , où :
5.1.12 On note, pour n E N*, fn : IR -----+ IR
X 1---+ (x + X
11
)
11
a) Etudier les convergences simple et uniforme de Cfn)n .
~
]
211 + !
b) Montrer:
fn(x) dx ~ - 2
-.
0
noo n
5.1.2 Convergence uniforme et limite
CVl
Dans tout le chapitre, E est un IK-evn
;j.J..... de dimension finie, dont la norme est
N
notée l l-1 1.
Dans ce § 5.1.2, X désigne une partie non vide d'un lK-evn F de dimension finie. On note X
l'adhérence de X dans F ; si F = IR , X pourra désigner l'adhérence de X dans la droite numérique achevée i .
@
.._,
~ o.
0
u
292
Ce théorème, s'il applique, permet de
permuter lim et lim.
X~ ll
1100
Soient a E X, Un : X ----+ E)n EN une suite d'applications.
Si
{ :
pour tout n de N, fn admet une limite ln en a
1
Un)n converge uniformément sur X vers une application notée f '
r
la suite Un)n converge dans E
f admet une limite en a
limf = lim/n.
a
noo
alors
L
0
c
::J
0
Chapitre S ·Suites et séries d'applications
5.1.5
Soit f E IRR
montrer que la suite
(gn : IR -----+ IR)n;;, I définie par :
VnE N*,VxE IR, gn(X) =
(f(x))2
,
jucxn
2 + ~
converge uniformément vers lf l sur IR.
5.1 .6 Soit Cfn : X -----+ IR)n une suite d'applications
convergeant uniformément vers une application f. Montrer
(
Ifni )
.f
,
Ill
que - - -
2
converge um ormement vers - - -
2
.
l + fn 11
1 + J
5.1.7 a) Soient a ,b E IR
tels que
a < b,
Cfn : [a ; b] -----+ C)nEN une suite d'applications de classe
C 1 sur [a ; b] , f : [a; b] -----+ C une application continue.
On suppose:
l
c.s.
fn -----+ f
sur [a; b]
noo
3M E IR+ . Vn E N, Vx E [a; b] , lf /z (x)I ~ M.
c.u.
Démontrer: fn -----+ f sur [a ; b].
1100
b) Le résultat s'étend-il à IR au lieu de [a; b]?
5.1.8 Soient f : IR+ -----+ C continue telle que
f (0) = lim f = 0, et (g,, : IR+ -----+ C) 11 eN* la suite définie
+ oo
par:
Vn E N*, Vx E IR+, g,,(x) = f(nx)f (~).
c.u.
Montrer: g 11 -----+ 0 sur IR+.
noo
5.1.9 Soient k E N, f : [0; l] -----+ IR de classe c k+ l sur
[O; l] et telle que :
Vi E {0, . .. ,k},jCil(l) =O.
Pour chaque n de N*, on note fn : [O; l] -----+ IR
xi---+ nkxn f(x)
Montrer que (f 11 ) 11 converge uniformément vers 0 sur
[O; l].
5.1.10 a) Soient n EN, f : [0; 1] -----+ IR de classe C 11 +
1 .
a) Montrer qu'il existe P 11 E IR 11 [X] tel que:
Vk E {O, ... ,n}, Pn (~) = f (~).
{J) Montrer que, pour tout x de [O; l], il existe Cx dans
JO; 1 [ tel que :
f(x) - P
11
(x) = ( fI (x - ~)) J < n+l)(c.x ).
k=O
n
(n+l)!
b) On prend ici : Vx E [O; l], f (x) = xe-x.
1
a) Montrer: Vn E N, Vx E [O; l], lf(x) - Pn(x) I ~ - .
n!
c.u.
{J) En déduire : P 11 -----+ f sur [0; l].
noo
5.1.11 Soit f : [O; l] -----+ IR continue.
Etudier la convergence simple et la convergence unifom1e
de la suite Cfn : [0; l] -----+ IR)nEN , où :
5.1.12 On note, pour n E N*, fn : IR -----+ IR
X 1---+ (x + X
11
)
11
a) Etudier les convergences simple et uniforme de Cfn)n .
~
]
211 + !
b) Montrer:
fn(x) dx ~ - 2
-.
0
noo n
5.1.2 Convergence uniforme et limite
CVl
Dans tout le chapitre, E est un IK-evn
;j.J..... de dimension finie, dont la norme est
N
notée l l-1 1.
Dans ce § 5.1.2, X désigne une partie non vide d'un lK-evn F de dimension finie. On note X
l'adhérence de X dans F ; si F = IR , X pourra désigner l'adhérence de X dans la droite numérique achevée i .
@
.._,
~ o.
0
u
292
Ce théorème, s'il applique, permet de
permuter lim et lim.
X~ ll
1100
Soient a E X, Un : X ----+ E)n EN une suite d'applications.
Si
{ :
pour tout n de N, fn admet une limite ln en a
1
Un)n converge uniformément sur X vers une application notée f '
r
la suite Un)n converge dans E
f admet une limite en a
limf = lim/n.
a
noo
alors
L