•
•
5 .1 ·Suites d 'applications
On essaiera donc de calculer l lf, 1 - f l loo , souvent en étudiant les variations de lfn - fi, ou d'évaluer
llJ,1 - f lloo .
Si on veut montrer J,1 ~ f et si 11 fn - f 11 oo ne paraît pas aisément calculable, on essaiera de majorer
noo
l lfn - f l loo par une suite numérique plus simple et de limite O.
C.U.
Si on veut montrer J, 1 + f , et si 11 fn - f 11 00 ne paraît pas calculable, on essaiera souvent de trouver une suite
1100
(xn)nE N dans X telle que Un - f)(xn)-f+ 0 , et on déduira : 11.f,, - .fl loo + O.
noo
noo
c.u.
Pour montrer f, 1 + f , on pourra, parfois, mettre en défaut une propriété qu'aurait transmi se àf la convergence
1100
uniforme de la suite Cfn)n.
Sifn S f , et sifn +· f, on cherchera éventuellement des parties convenables Y defn lY ~ ! Ir .
noo
noo
noo
D
d
b
.
.r c.u.
ans un ca re a stra1t, pour montrer 111 ----+
1100
établir llf,, - flloo---+ O.
noo
f sur X (ex. 5.1.2 à 5.1.6, 5.1.9, 5.l.10), évaluer llJ,1 - flloo et
• Pour montrer fn ~ f sur X , ne revenir à la définition en s et N (Déf. 2 p. 288) qu'en dernier recours
1100
(ex. 5.1.7, 5.1.8, 5.1.11).
5.1.1 Etudier (convergence simple, convergence uniforme) les suites d'applications suivantes :
nx
a)fn: IR --+ IR ,
fn(X) = l
2 2
+nx
b) fn : IR -----+ IR ,
nx 3
fn(X) =
2
1 + nx
c) f,, : lR -----+ IR ,
1
fn(X)= I (
) 2
+ x +n
d) fn : IR+ -----+ lR ,
X 11 - 1
.f11(X) = xn + 1
1 -X
11
e)f,, : [O; 1) -----+ IR, f,,(x) =
2
l +x
11
fJ fn : IR+ -----+ lR ,
g) fn : IR+ -----+ IR,
h) fn : [O; 2] -----+ JR ,
i)f11: IR -----+ IR,
j)fn : IR--+ IR ,
fn (x) = ln ( 1 + ~)
f,,(x) = sin Jx + 4n2n2 -~
4nn
JT X
fn(X) = n(l - x)
11 sin -
2
n
k
-x ~ x
f,,(x) = e L., 1 .
k=O k.
si X # Ü
si x# 0
5.1.2 Soient X ,Y deux ensembles non vides, cp: X -----+ Y
une applicatio n, (.{,, : Y -----+ E)nEN une suite d'applications, f : Y -----+ E un e application. On suppose :
C.V.
C.V.
fn ------+ f. Montrer : fn o cp ------+ f o cp .
noo
noo
5.1.3 a) Soient (f, 1 : X -----+ E),, EN une suite d'applications, f : X -----+ E une application, F un JK-ev n,
C. V.
g : E -----+ F une application. On suppose f,, ------+ f et
1100
g uniformément continue sur E.
C.V.
Montrer : g o f,, ------+ g o f .
noo
b) Le résultat précédent reste-t-il vrai si on remplace l'hypothèse d'uniforme continuité par celle de continuité ?
5.1.4 a) Soie nt X , Y deux ensembles non vides,
(f,, : X -----+ qnEN, (g,, : Y -----+ C) 11 EN deu x suites d'applications, f : X -----+ C , g : Y -----+ C deux applications.
On note f ® g : X x Y ~ IC , et de même pour f 11 ® g 11 .
(x ,y)t---> f (x )g(y)
C. V.
C.V.
On suppose fn ------+ f, g 11 ------+ g et f et g bornées.
11 00
11 00
C.V.
Montrer : fn ® g11 ------+ f ® g ·
11 00
b) Le résultat précédent reste-t-il vrai si on supprime l'hypothèse : f et g bornées ?
291
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5 .1 ·Suites d 'applications
On essaiera donc de calculer l lf, 1 - f l loo , souvent en étudiant les variations de lfn - fi, ou d'évaluer
llJ,1 - f lloo .
Si on veut montrer J,1 ~ f et si 11 fn - f 11 oo ne paraît pas aisément calculable, on essaiera de majorer
noo
l lfn - f l loo par une suite numérique plus simple et de limite O.
C.U.
Si on veut montrer J, 1 + f , et si 11 fn - f 11 00 ne paraît pas calculable, on essaiera souvent de trouver une suite
1100
(xn)nE N dans X telle que Un - f)(xn)-f+ 0 , et on déduira : 11.f,, - .fl loo + O.
noo
noo
c.u.
Pour montrer f, 1 + f , on pourra, parfois, mettre en défaut une propriété qu'aurait transmi se àf la convergence
1100
uniforme de la suite Cfn)n.
Sifn S f , et sifn +· f, on cherchera éventuellement des parties convenables Y defn lY ~ ! Ir .
noo
noo
noo
D
d
b
.
.r c.u.
ans un ca re a stra1t, pour montrer 111 ----+
1100
établir llf,, - flloo---+ O.
noo
f sur X (ex. 5.1.2 à 5.1.6, 5.1.9, 5.l.10), évaluer llJ,1 - flloo et
• Pour montrer fn ~ f sur X , ne revenir à la définition en s et N (Déf. 2 p. 288) qu'en dernier recours
1100
(ex. 5.1.7, 5.1.8, 5.1.11).
5.1.1 Etudier (convergence simple, convergence uniforme) les suites d'applications suivantes :
nx
a)fn: IR --+ IR ,
fn(X) = l
2 2
+nx
b) fn : IR -----+ IR ,
nx 3
fn(X) =
2
1 + nx
c) f,, : lR -----+ IR ,
1
fn(X)= I (
) 2
+ x +n
d) fn : IR+ -----+ lR ,
X 11 - 1
.f11(X) = xn + 1
1 -X
11
e)f,, : [O; 1) -----+ IR, f,,(x) =
2
l +x
11
fJ fn : IR+ -----+ lR ,
g) fn : IR+ -----+ IR,
h) fn : [O; 2] -----+ JR ,
i)f11: IR -----+ IR,
j)fn : IR--+ IR ,
fn (x) = ln ( 1 + ~)
f,,(x) = sin Jx + 4n2n2 -~
4nn
JT X
fn(X) = n(l - x)
11 sin -
2
n
k
-x ~ x
f,,(x) = e L., 1 .
k=O k.
si X # Ü
si x# 0
5.1.2 Soient X ,Y deux ensembles non vides, cp: X -----+ Y
une applicatio n, (.{,, : Y -----+ E)nEN une suite d'applications, f : Y -----+ E un e application. On suppose :
C.V.
C.V.
fn ------+ f. Montrer : fn o cp ------+ f o cp .
noo
noo
5.1.3 a) Soient (f, 1 : X -----+ E),, EN une suite d'applications, f : X -----+ E une application, F un JK-ev n,
C. V.
g : E -----+ F une application. On suppose f,, ------+ f et
1100
g uniformément continue sur E.
C.V.
Montrer : g o f,, ------+ g o f .
noo
b) Le résultat précédent reste-t-il vrai si on remplace l'hypothèse d'uniforme continuité par celle de continuité ?
5.1.4 a) Soie nt X , Y deux ensembles non vides,
(f,, : X -----+ qnEN, (g,, : Y -----+ C) 11 EN deu x suites d'applications, f : X -----+ C , g : Y -----+ C deux applications.
On note f ® g : X x Y ~ IC , et de même pour f 11 ® g 11 .
(x ,y)t---> f (x )g(y)
C. V.
C.V.
On suppose fn ------+ f, g 11 ------+ g et f et g bornées.
11 00
11 00
C.V.
Montrer : fn ® g11 ------+ f ® g ·
11 00
b) Le résultat précédent reste-t-il vrai si on supprime l'hypothèse : f et g bornées ?
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