-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
290
Chapitre S ·Suites et séries d'applications
Solution
1) Convergence simple:
Soit x E [O; +oo[ fixé.
.
nx
2 +x 3
nx
2
S1x-:j=O, ona:fn(x)= l+n 3x4 11 00 n3x4
Six= 0 , on a: f,, (x) = 0 -----+ O.
1100
On conclut : f n ~ 0 sur [O; +oo[.
11 00
2) Convergence uniforme :
Soit n E N* fixé.
-----'? o.
n2 x 2 11 00
Pour x E [O; +oo[, séparons l'étude en deux cas selon la position de n
3 x
4 par rapport à 1 au vu du dénominateur 1 + n
3 x
4 dans f11 (x).
1
• Si 0 ~ x ~ 314
, alors n 3 x 4 ~ 1, donc :
fi
~
~ 2 3 ~ (-1 -)
2
(-1 -)
3
- _1 _ _1 _
0 "' f,, (x) "' flX + x "' n n3/4
+ n3/4
- n 1/ 2 + fl 9/4 .
1
• Si x ~ n 314
, alors :
nx
2
+ x
3
1
1
1
l
1
1
O ~ fn (X) ~
3 4
= -- + -~ -- +-- = - + - .
fi x
fl2 x 2
fl 3 x
2 1
3 1
fi 112
n9/4
n fi 3/ 2
n fl3/ 4
Ceci montre :
1
1
\:/n E N* , \:/x E [0 ; +oo[, 0 ~ f,,(x) ~ fl 112 + fl 914 ·
l
1
Il en résulte que, pour tout fi EN*, f,, est bornée et que ll fn lloo ~ n 112 + n 914 ,
donc l IJ., l loo -----+ O.
1100
On conclut : f,, ~ 0 sur [O ; +oo[.
11 00
Remarquons que, comme, pour l'étude de la convergence uniforme on a formé
llf. 1 11 00 , il était préalablement nécessaire d'étudier la convergence simple, afin de
connaître f , ici f = 0 , même si, après coup, le résultat sur la convergence uniforme contient celui sur la convergence simple.
Les méthodes à retenir
Conseils
Recherche d'un équivalent simple de 1;, (x )
pour x fixé et n tendant vers l'infini.
L'étude des variations de f,,, pour n fixé,
paraît compliquée car, après calcul, le signe
de J,; (x ) , pour x E fO; +oof, n'apparaît pas
clairement.
nx
2 + x 3
On majore la fraction
3 4
en mino1 + n x
rant le dénominateur par 1.
nx
2 + x 3
On majore la fraction
3 4
en mino1 + n x
rant le dénominateur par n 3 x 4 .
Utilisation de la caractérisation de la
convergence uniforme d'une suite
d'applications (f,, ) 11 vers une application f,
en faisant intervenir 111;, - f lloo ·
Notions de convergence pour une suite d'applications
• Pour étudier les convergences d'une suite d 'applica tions (ex. 5.1.1), commencer en général par la convergence simple, puis étudier la convergence uniforme .
• Pour étudier la convergence simple d ' une suite d'applications (f, 1 : X -----+ E) 11 eN , fixer x E X quelconque,
étudier (par les techniques vues à propos des suites à termes dans un evn) la convergence de la suite Un (x)) n EN
dans E , et, si celle-ci converge, déterminer sa limite f (x) .
• Pour étudier la convergence uniforme d ' une suite d'applications (f, 1 : X -----+ E) 11 eri , qui déjà converge simplement vers une certaine application f : X -----+ E, voir si, à partir d' un certain rang,Jn-f est bornée et, si c'est
le cas, on a:
fn ~ f {::::::} l lfn - fi loo -----+ 0 ·
noo
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Chapitre S ·Suites et séries d'applications
Solution
1) Convergence simple:
Soit x E [O; +oo[ fixé.
.
nx
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2
S1x-:j=O, ona:fn(x)= l+n 3x4 11 00 n3x4
Six= 0 , on a: f,, (x) = 0 -----+ O.
1100
On conclut : f n ~ 0 sur [O; +oo[.
11 00
2) Convergence uniforme :
Soit n E N* fixé.
-----'? o.
n2 x 2 11 00
Pour x E [O; +oo[, séparons l'étude en deux cas selon la position de n
3 x
4 par rapport à 1 au vu du dénominateur 1 + n
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4 dans f11 (x).
1
• Si 0 ~ x ~ 314
, alors n 3 x 4 ~ 1, donc :
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2
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0 "' f,, (x) "' flX + x "' n n3/4
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- n 1/ 2 + fl 9/4 .
1
• Si x ~ n 314
, alors :
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2
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Ceci montre :
1
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Il en résulte que, pour tout fi EN*, f,, est bornée et que ll fn lloo ~ n 112 + n 914 ,
donc l IJ., l loo -----+ O.
1100
On conclut : f,, ~ 0 sur [O ; +oo[.
11 00
Remarquons que, comme, pour l'étude de la convergence uniforme on a formé
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connaître f , ici f = 0 , même si, après coup, le résultat sur la convergence uniforme contient celui sur la convergence simple.
Les méthodes à retenir
Conseils
Recherche d'un équivalent simple de 1;, (x )
pour x fixé et n tendant vers l'infini.
L'étude des variations de f,,, pour n fixé,
paraît compliquée car, après calcul, le signe
de J,; (x ) , pour x E fO; +oof, n'apparaît pas
clairement.
nx
2 + x 3
On majore la fraction
3 4
en mino1 + n x
rant le dénominateur par 1.
nx
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On majore la fraction
3 4
en mino1 + n x
rant le dénominateur par n 3 x 4 .
Utilisation de la caractérisation de la
convergence uniforme d'une suite
d'applications (f,, ) 11 vers une application f,
en faisant intervenir 111;, - f lloo ·
Notions de convergence pour une suite d'applications
• Pour étudier les convergences d'une suite d 'applica tions (ex. 5.1.1), commencer en général par la convergence simple, puis étudier la convergence uniforme .
• Pour étudier la convergence simple d ' une suite d'applications (f, 1 : X -----+ E) 11 eN , fixer x E X quelconque,
étudier (par les techniques vues à propos des suites à termes dans un evn) la convergence de la suite Un (x)) n EN
dans E , et, si celle-ci converge, déterminer sa limite f (x) .
• Pour étudier la convergence uniforme d ' une suite d'applications (f, 1 : X -----+ E) 11 eri , qui déjà converge simplement vers une certaine application f : X -----+ E, voir si, à partir d' un certain rang,Jn-f est bornée et, si c'est
le cas, on a:
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