Définition de la convergence uniforme
de la suite d'applications
(f,, : X --+ E ) 11 eN sur une partie
de X.
CU. :::} C.S.
Proposition très utile en pratique.
Ayant montré f,, S f. pour étudier
1100
la convergence uniforme de(/,,),, vers
f. on forme/,, - f pour n E N, et on
regarde si
ll/11 - f lloo --+ O.
1100
\JJ Cas des applications bornées.
..,
Rappelons (cf. 2.1.4 Prop. 3) que
! l'ensemble B(X ; E) des applications
,____ bornées de X dans E estun lK-€vetque
l'application
11.lloo :B(X ; E )--+ IR,
définie par
11/lloo = Supl lf(x)ll,
est une norme sur B(X; E).
5.1 ·Suites d'applications
Soient Un : X -----+ E)n EN une suite d'applications, Y une partie non vide de X,
f E EY. On dit que Un )nEN converge uniformément versf sur Y si et seulement si
Un 1 y )n EN converge uniformément vers f, c'est-à-dire :
Vê > 0, 3N EN, Vn EN, Vx E Y, (n ?: N ==:::::} llfn(x) - f(x)ll ::;; ê).
Il est clair que, si Z C Y C X et si Un)n converge uniformément vers f sur Y, alors
Un) 11 converge uniformément vers f sur Z.
Si Un)nEN converge uniformément vers/, alors Un)n EN converge simplement vers/
Soient Un : X -----+ E)nEN une suite d'applications et JE Ex. Pour que Un)n EN
converge uniformément vers f sur X, il faut et il suffit que :
l
il existe N 1 E N tel que, pour tout n ; : . ; : : N 1 , fn - f soit bornée
J
llfn - fll oo -----+ O.
noo
Rappelons que, pour l'application ll'Pl l: X-----+ lR
x e X
Xt--> ll
I ~niformément vers f sur X et si, pour tout n de N ,Jn est bornée sur X, alors f est borL1ée sur X.
La Proposition suivante est immédiate.
Soient Un)n EN une suite d'éléments de B(X; E) etf E B(X; E) .
Pour que Un)n EN converge uniformément vers f sur X, il faut et il suffit que :
l lfn - f l loo -----+ O.
noo
Exemple d'étude de convergence d'une suite d'applications
Étudier convergence simple et convergence uniforme pour la suite d'applications (f,, : [0; +oo[ -----+ lR)n eN définie par :
nx
2
+ x
3
V n EN, V x E [0 ; +oo[, f,,(x) =
3 4
·
l+nx
289
de la suite d'applications
(f,, : X --+ E ) 11 eN sur une partie
de X.
CU. :::} C.S.
Proposition très utile en pratique.
Ayant montré f,, S f. pour étudier
1100
la convergence uniforme de(/,,),, vers
f. on forme/,, - f pour n E N, et on
regarde si
ll/11 - f lloo --+ O.
1100
\JJ Cas des applications bornées.
..,
Rappelons (cf. 2.1.4 Prop. 3) que
! l'ensemble B(X ; E) des applications
,____ bornées de X dans E estun lK-€vetque
l'application
11.lloo :B(X ; E )--+ IR,
définie par
11/lloo = Supl lf(x)ll,
est une norme sur B(X; E).
5.1 ·Suites d'applications
Soient Un : X -----+ E)n EN une suite d'applications, Y une partie non vide de X,
f E EY. On dit que Un )nEN converge uniformément versf sur Y si et seulement si
Un 1 y )n EN converge uniformément vers f, c'est-à-dire :
Vê > 0, 3N EN, Vn EN, Vx E Y, (n ?: N ==:::::} llfn(x) - f(x)ll ::;; ê).
Il est clair que, si Z C Y C X et si Un)n converge uniformément vers f sur Y, alors
Un) 11 converge uniformément vers f sur Z.
Si Un)nEN converge uniformément vers/, alors Un)n EN converge simplement vers/
Soient Un : X -----+ E)nEN une suite d'applications et JE Ex. Pour que Un)n EN
converge uniformément vers f sur X, il faut et il suffit que :
l
il existe N 1 E N tel que, pour tout n ; : . ; : : N 1 , fn - f soit bornée
J
llfn - fll oo -----+ O.
noo
Rappelons que, pour l'application ll'Pl l: X-----+ lR
x e X
Xt--> ll
I ~niformément vers f sur X et si, pour tout n de N ,Jn est bornée sur X, alors f est borL1ée sur X.
La Proposition suivante est immédiate.
Soient Un)n EN une suite d'éléments de B(X; E) etf E B(X; E) .
Pour que Un)n EN converge uniformément vers f sur X, il faut et il suffit que :
l lfn - f l loo -----+ O.
noo
Exemple d'étude de convergence d'une suite d'applications
Étudier convergence simple et convergence uniforme pour la suite d'applications (f,, : [0; +oo[ -----+ lR)n eN définie par :
nx
2
+ x
3
V n EN, V x E [0 ; +oo[, f,,(x) =
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