Chapitre S ·Suites et séries d'applications
Dans tout ce chapitre 5, IK désigne lR ou C , E désigne un IK-evn de dimension finie, dont la
norme est notée 11 -11 . En première lecture, on pourra se limiter E = lR ou C.
5.1 Suites d'applications
5.1.1
,.
Pour la commodité du lecteur, nous
,,j,,, reprenons ici l'étude faite dans 2.3.2.
'
•
-
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
t
288
Pour étudier la convergence simple
d 'une
suite
d'applications
(f11 : X ----+ E) 11 eN.onfixex E E,
et on étudie la suite (f,, (x) )11eN dans
(E,11 ·Il).
Définition de la convergence simple
de la suite d'applications
(f11 : X ----+ E) 11 eN sur une partie
de X.
Dans la définition de la convergence
uniforme, l'entier N ne doit pas
dépendre de x.
Addition et multiplication par une
constante.
Convergences
Dans ce§ 5.1.1, X désigne un ensemble non vide.
Soit Un : X -----+ E)neN une suite d'applications.
1) Soit! E Ex. On dit que Un)neN converge simplement vers / (sur X) si et seulement si, pour tout x de X, la suite Un (x))neN converge vers/ (x) dans E. On dit aussi
que f est la limite simple de Un)n eN·
2) On dit que Un)n eN converge simplement (sur X) si et seulement s'il existe
f E Ex telle que Un)n eN converge simplement vers f (sur X).
C.S.
On peut noter fn -----+ f pour exprimer que Un)n eN converge simplement vers f
(sur X).
noo
Soient Un : X -----+ E)n eN une suite d'applications, Y une partie non vide de X,
f E Er. On dit que Un)n eN converge simplement vers f sur Y si et seulement si
Unlr)neN converge simplement vers/Ir, c'est-à-dire:
Vx E Y, fn (x) -----+ f (x).
1100
Pour Un : X -----+ E)neN donnée, on appelle quelquefois ensemble (ou: domaine) de
convergence simple de Un)ne N l'ensemble des x de X tels que U 11 (x))neN converge.
Soit Un : X -----+ E)neN une suite d'applications .
1) Soit! E Ex. On dit que Un)n eN converge uniformément vers / (sur X) si et seulement si:
VE > 0, 3N EN, Vn EN, Vx EX, (n :;?: N ==:::::} llf 11 (x) - f(x)ll :( E).
On dit aussi que/ est la limite uniforme de Un)ne N·
2) On dit que Un)ne N converge uniformément (sur X) si et seulement s'il existe
f E Ex telle que Un)n eN converge uniformément vers/ (sur X) .
c.u .
On peut noter f 11 -----+ f pour exprimer que Un)n eN converge uniformément vers f
noo
(sur X).
Remarque : On montre facilement :
C.V.
)
fn-----+ f
noo
C.V .
C.V.
= } Àfn + gn -----+ Àf + g.
gn -----+ g
noo
noo
À E IK
Dans tout ce chapitre 5, IK désigne lR ou C , E désigne un IK-evn de dimension finie, dont la
norme est notée 11 -11 . En première lecture, on pourra se limiter E = lR ou C.
5.1 Suites d'applications
5.1.1
,.
Pour la commodité du lecteur, nous
,,j,,, reprenons ici l'étude faite dans 2.3.2.
'
•
-
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::J
0
(V)
......
0
N
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..._,
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t
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Pour étudier la convergence simple
d 'une
suite
d'applications
(f11 : X ----+ E) 11 eN.onfixex E E,
et on étudie la suite (f,, (x) )11eN dans
(E,11 ·Il).
Définition de la convergence simple
de la suite d'applications
(f11 : X ----+ E) 11 eN sur une partie
de X.
Dans la définition de la convergence
uniforme, l'entier N ne doit pas
dépendre de x.
Addition et multiplication par une
constante.
Convergences
Dans ce§ 5.1.1, X désigne un ensemble non vide.
Soit Un : X -----+ E)neN une suite d'applications.
1) Soit! E Ex. On dit que Un)neN converge simplement vers / (sur X) si et seulement si, pour tout x de X, la suite Un (x))neN converge vers/ (x) dans E. On dit aussi
que f est la limite simple de Un)n eN·
2) On dit que Un)n eN converge simplement (sur X) si et seulement s'il existe
f E Ex telle que Un)n eN converge simplement vers f (sur X).
C.S.
On peut noter fn -----+ f pour exprimer que Un)n eN converge simplement vers f
(sur X).
noo
Soient Un : X -----+ E)n eN une suite d'applications, Y une partie non vide de X,
f E Er. On dit que Un)n eN converge simplement vers f sur Y si et seulement si
Unlr)neN converge simplement vers/Ir, c'est-à-dire:
Vx E Y, fn (x) -----+ f (x).
1100
Pour Un : X -----+ E)neN donnée, on appelle quelquefois ensemble (ou: domaine) de
convergence simple de Un)ne N l'ensemble des x de X tels que U 11 (x))neN converge.
Soit Un : X -----+ E)neN une suite d'applications .
1) Soit! E Ex. On dit que Un)n eN converge uniformément vers / (sur X) si et seulement si:
VE > 0, 3N EN, Vn EN, Vx EX, (n :;?: N ==:::::} llf 11 (x) - f(x)ll :( E).
On dit aussi que/ est la limite uniforme de Un)ne N·
2) On dit que Un)ne N converge uniformément (sur X) si et seulement s'il existe
f E Ex telle que Un)n eN converge uniformément vers/ (sur X) .
c.u .
On peut noter f 11 -----+ f pour exprimer que Un)n eN converge uniformément vers f
noo
(sur X).
Remarque : On montre facilement :
C.V.
)
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noo
C.V .
C.V.
= } Àfn + gn -----+ Àf + g.
gn -----+ g
noo
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À E IK