Plan
5.1 Suites
d'applications
288
Exercices
291,296,
299, 301, 304
5.2 Approximation
des fonctions
d'une variable
réelle
307
Exercices
307, 309
5.3 Séries
d'applications
314
Exercices
324, 329,
334, 340, 344
Problèmes
345
CHAPITRE !J
Jnt.,.oduction
L'étude des suites et des séries d'applications est au cœur du programme
d'analyse des classes préparatoires scientifiques. Une première approche de
la notion de suite d' applications a été faite dans le § 2.3.2 en vue de la
construction de l'intégrale d'une application continue par morceaux sur un
segment.
Nous étudions d'abord les suites de fonctions (convergence simple, convergence uniforme), puis l'approximation d'une fonction continue sur un segment par des polynômes, et enfin les séries de fonctions (convergence
simple, convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale).
Les théorèmes relatifs à la convergence uniforme permettent d'obtenir des
propriétés de régularité, surtout pour la somme d'une série de fonctions.
On peut par ailleurs déterminer certaines limites d'intégrales grâce au théorème de convergence dominée.
p.,.é.,.eciuis
• Espaces vectoriels normés (ch. 1)
• Fonctions vectorielles d' une variable réelle (ch. 2), en particulier l'intégration sur un segment
• Intégration sur un intervalle quelconque (ch. 3)
• Séries (ch. 4).
Objectifs
• Mise en place des diverses notions de convergence pour les suites ou les
séries de fonctions
• Énoncé de théorèmes permettant d'obtenir des propriétés de la limite
d'une suite de fonctions ou de la somme d'une série de fonctions
• Énoncé de théorèmes permettant de permuter des symboles
lim, lim,
x-+a
noo
287
5.1 Suites
d'applications
288
Exercices
291,296,
299, 301, 304
5.2 Approximation
des fonctions
d'une variable
réelle
307
Exercices
307, 309
5.3 Séries
d'applications
314
Exercices
324, 329,
334, 340, 344
Problèmes
345
CHAPITRE !J
Jnt.,.oduction
L'étude des suites et des séries d'applications est au cœur du programme
d'analyse des classes préparatoires scientifiques. Une première approche de
la notion de suite d' applications a été faite dans le § 2.3.2 en vue de la
construction de l'intégrale d'une application continue par morceaux sur un
segment.
Nous étudions d'abord les suites de fonctions (convergence simple, convergence uniforme), puis l'approximation d'une fonction continue sur un segment par des polynômes, et enfin les séries de fonctions (convergence
simple, convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale).
Les théorèmes relatifs à la convergence uniforme permettent d'obtenir des
propriétés de régularité, surtout pour la somme d'une série de fonctions.
On peut par ailleurs déterminer certaines limites d'intégrales grâce au théorème de convergence dominée.
p.,.é.,.eciuis
• Espaces vectoriels normés (ch. 1)
• Fonctions vectorielles d' une variable réelle (ch. 2), en particulier l'intégration sur un segment
• Intégration sur un intervalle quelconque (ch. 3)
• Séries (ch. 4).
Objectifs
• Mise en place des diverses notions de convergence pour les suites ou les
séries de fonctions
• Énoncé de théorèmes permettant d'obtenir des propriétés de la limite
d'une suite de fonctions ou de la somme d'une série de fonctions
• Énoncé de théorèmes permettant de permuter des symboles
lim, lim,
x-+a
noo
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