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286
Chapitre 4 • Séries
Démontrer, pour tout u = (un)n EN de e 2 :
V n EN, Un= < en,U >
+oo
u = L < en, U > en.
n=O
4) Un exemple d'endomorphisme f de e
2 adm ettent un
adjoint et tel que Im(f) =/. (Ker(f*)).l et lm(f*) =/.
(Ker(f)).L (cf. P 1.4 4) p. 98).
Soit f : e 2 ----+ e 2 défini par :
f(u) = - -
.
(
Un )
n + 1 nEN
Montrer :
b) f admet un adjoint, et f* = f
c) Im(f) =f. (Ker(f)).l .
P 4.7 Théorème d'Abel
On expose ici la transformation d'Abel, le théorème d'Abel, et quelques exemples
d'utilisation de celui-ci.
1) Transformation d'Abel
Soient (u n)nEN une suite dans lK et (vn)n EN une suite
d'éléments d'un lK-ev E. Pour tout ( p ,q) de N 2 tel que
q
q ? p + 1 , on note Œp ,q = L Vk. Montrer, pour tout
k=p+ l
(p ,q) de N 2 tel que q ? p + 1 :
q
q-1
L UkVk = u qap,q + L (u k - uk+ l )ap,k·
k= p+ l
k= p+ l
2) Théorème d'Abel
Soit (E , 11 -11) un lK-evn complet. Soient (un ),, EN une suite
réelle décroissante de limite 0, e t (vn)nE.N une suite dans
E, à sommes partielles bornées, c'est-à-dire telle qu'il existe M E lR+ tel que :
2
V(p,q) E N ,
t Vk ::::; M) ·
k=p+ l
Démontrer que la série Lu,, v,, converge dans E .
n;;,O
3) Exemples
Le résultat de 3) a) est l'application la plus utile du théorème d'Abel.
a) Montrer que, pour tout (t ,a) de (JR - 2nZ)x ]O; +oo[,
ein1
la série '°' - converge.
L na
n ;;> 1
b) Déterminer la nature de la série de terme général :
1)
(-1r cosn
n + (- l)n sinn
2)
sinn
n - ..jn sinn
sin(nv'2)
(
. ( ) )
~
smen
3) (e
n
- l) ln l + - -
..jn
4)
( sin n)
sin -;;a , a E]O; +oo[ fi xé
5)
(-1 )"
, a E]O; +oo[ fi xé.
na+ cosn