Deux contrexemples.
5) a) On considère la suite (un)n ~ l définie par:
(-l)n-1
Vn EN*, Un=
Jn
Vérifier que TI (1 + un) diverge et que L un converge.
b) On considère la suite (un)n ~ I définie par:
Un= j _l+ si n = 2p + 1, p E N.
v"PTI
Vérifier que TI ( 1 +un) converge et que L un diverge.
Analogie avec des séries télescopiques.
+oo n3 - 1
6) Calculer : a) TI - -
n 3 +1
n=2
p 4.5 Espaces fP
b)
+oo n2 + 1
TI Jn4+4.
n= I
n4 + 4
Ce problème P 4.5 généralise à f,P l'étude élémentaire de e
1 ou e 2 .Cependant,
dans V ', on ne peut pas faire intervenir, de manière simple, un produit scalaire.
Notations.
Soit p E [l ; +oo[. On note f,P l'ensemble des suites complexes (un)nEN telles que la série L lun lp converge
11 ~ 0
+oo
pour u = (un)n EN E fP , on note llu llp = L lun lP.
n=O
On note e
00 l'ensemble des suites complexes bornées ;
pour u = (un)n EN E e
00
' on note llulloo = Sup lun l·
11EN
p
Pour p E]l ; +oo[, on note q = - - ; on a donc
p-1
1
1
q E]l ; +oo[ et - + - = 1.
p q
On convient :
{
si p = 1,
si p = +oo,
alors q = +oo
alors q = 1.
1) Soitp E]l; +oo[. On pourra utiliser ici les résultats de
l'exercice 1.1.8 p. 10.
a) Soient u = (un)n EN E f,P , V = (vn)11EN E eq.
a) Montrer que la série L u 11 Vn converge absolument et
n ~O
que: l~UnVn 1 ~ llullp ll vllq·
Ainsi, si U E e P et V E eq ,alors la suite de terme général U 11 V 11 est dans i 1 .
Problèmes
{J) En déduire que f,P est un C -ev et que :
b) Montrer que 11 -l lp est une norme sur f,P.
2) Montrer que (f 1 ,ll.11 1) et (1:
00 ,11 -lloo) sont des evn.
3) a) Soit (Pt , p2) E [l; +oo] 2 tel que Pl ~ P2·
Montrer : f,P 1 c f,P2.
b)A-t-on
u fP = f
00 ?
pE[l:+oo[
c) Montrer que, pour tout u fi xé dans e 1
llullp -----+ llu lloo·
p-->+oo
4) Démontrer que, pour tout p de [1 ,+oo], f,P est complet.
P 4.6 L'espace de Hilbert e 2
Ce problème P 4.6 propose l'étude élémentaire de l'espace e
2 , qui est un
espace de Hilbert, cf. aussi P 4.5, 4) ci-dessus.
On note e 2 l'ensemble des suites (u11)nEN de cN telles que
la série L lun 1
2 converge.
n ~O
1) a) Soient (u11)nEN E e 2 , (vn)nEN E e 2 ; montrer que la
série L un v,. converge absolument et que :
n ~O
b) Montrer que l'application < .,. > : e 2 X e 2 -----+ c définie par:
+oo
< u,v > = L:=u,,v"
11=0
est un produit scalaire hermitien sur e 2 .
On note 1 1-112 la norme associée, définie par:
2) Montrer que e 2 est complet. Ainsi, e 2 est un espace de
Hilbert.
3) On note, pour tout k de N : ek = (Ôkn)nEN,
{
l
où Ôkn = O
si k = n
est le symbole de Kronecker.
si k ~ n
ek est la suite dont tous les termes sont nuls, sauf celui de numérok,qui est éga l
à !.
285
5) a) On considère la suite (un)n ~ l définie par:
(-l)n-1
Vn EN*, Un=
Jn
Vérifier que TI (1 + un) diverge et que L un converge.
b) On considère la suite (un)n ~ I définie par:
Un= j _l+ si n = 2p + 1, p E N.
v"PTI
Vérifier que TI ( 1 +un) converge et que L un diverge.
Analogie avec des séries télescopiques.
+oo n3 - 1
6) Calculer : a) TI - -
n 3 +1
n=2
p 4.5 Espaces fP
b)
+oo n2 + 1
TI Jn4+4.
n= I
n4 + 4
Ce problème P 4.5 généralise à f,P l'étude élémentaire de e
1 ou e 2 .Cependant,
dans V ', on ne peut pas faire intervenir, de manière simple, un produit scalaire.
Notations.
Soit p E [l ; +oo[. On note f,P l'ensemble des suites complexes (un)nEN telles que la série L lun lp converge
11 ~ 0
+oo
pour u = (un)n EN E fP , on note llu llp = L lun lP.
n=O
On note e
00 l'ensemble des suites complexes bornées ;
pour u = (un)n EN E e
00
' on note llulloo = Sup lun l·
11EN
p
Pour p E]l ; +oo[, on note q = - - ; on a donc
p-1
1
1
q E]l ; +oo[ et - + - = 1.
p q
On convient :
{
si p = 1,
si p = +oo,
alors q = +oo
alors q = 1.
1) Soitp E]l; +oo[. On pourra utiliser ici les résultats de
l'exercice 1.1.8 p. 10.
a) Soient u = (un)n EN E f,P , V = (vn)11EN E eq.
a) Montrer que la série L u 11 Vn converge absolument et
n ~O
que: l~UnVn 1 ~ llullp ll vllq·
Ainsi, si U E e P et V E eq ,alors la suite de terme général U 11 V 11 est dans i 1 .
Problèmes
{J) En déduire que f,P est un C -ev et que :
b) Montrer que 11 -l lp est une norme sur f,P.
2) Montrer que (f 1 ,ll.11 1) et (1:
00 ,11 -lloo) sont des evn.
3) a) Soit (Pt , p2) E [l; +oo] 2 tel que Pl ~ P2·
Montrer : f,P 1 c f,P2.
b)A-t-on
u fP = f
00 ?
pE[l:+oo[
c) Montrer que, pour tout u fi xé dans e 1
llullp -----+ llu lloo·
p-->+oo
4) Démontrer que, pour tout p de [1 ,+oo], f,P est complet.
P 4.6 L'espace de Hilbert e 2
Ce problème P 4.6 propose l'étude élémentaire de l'espace e
2 , qui est un
espace de Hilbert, cf. aussi P 4.5, 4) ci-dessus.
On note e 2 l'ensemble des suites (u11)nEN de cN telles que
la série L lun 1
2 converge.
n ~O
1) a) Soient (u11)nEN E e 2 , (vn)nEN E e 2 ; montrer que la
série L un v,. converge absolument et que :
n ~O
b) Montrer que l'application < .,. > : e 2 X e 2 -----+ c définie par:
+oo
< u,v > = L:=u,,v"
11=0
est un produit scalaire hermitien sur e 2 .
On note 1 1-112 la norme associée, définie par:
2) Montrer que e 2 est complet. Ainsi, e 2 est un espace de
Hilbert.
3) On note, pour tout k de N : ek = (Ôkn)nEN,
{
l
où Ôkn = O
si k = n
est le symbole de Kronecker.
si k ~ n
ek est la suite dont tous les termes sont nuls, sauf celui de numérok,qui est éga l
à !.
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