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0
c
:J
0
(V)
.--t
0
N
@
.......
J::
O'l
·;::::
>0.
0
u
284
Chapitre 4 • Séries
Pour n E N*, on note qn le nombre de couples (u , v) de
(N* ) 2 tels que u ~ n , v ~ n , pgcd (u ,v) = 1.
1) Montrer
q" =n
2
- L (E (!!_))
2
+ L (E (-n ))
2
Pl
P l
Pl < P2
P l P2
où les sommes sont indexées sur les nombres premiers
~ 2.
2) Soit µ, : N* -----+ Z la fonction de Mobius, définie par:
l
µ,(1 ) = 1,
µ, (p J • •.• · Pr ) = ( - 1 )' si r E N* et p 1 , ... , Pr sont
µ,(n ) = 0 sinon.
pre miers et deux à deux di stincts,
a) Montrer, pour tout n de N* : q,, = t µ,(k) ( E ( Ï))
2
1
·
1m q,, - - +L oo µ, (k) .
b) En déduire :
noo n2
k2
k= l
Intervention de séries et de familles sommables dans une question d'arithmétique.
3) a) Soient (ak)k ;;: J, (b e)e;;: I deux suites à termes comL
ak
L be
plexes, et a E N, tels que les séries
- et
- soit
k a
f_a
k;;: l
e;;: I
abso lume nt convergentes.
Montrer :
(
+
00
ak ) ( +oo be) +oo 1 (
)
'°' - '°' - = '°' - '°' a1b ·
L..., k"
L..., f "
L..., n" L..., ' ' ·
k= I
l = I
n= I
dl n
b) Etablir :
'v'n EN* , L µ,(d ) = { ~
d ln
sin = 1
sin # 1 ·
(
+oo µ,(k) ) ( +oo _. !. . _ ) =
2= k1 2= e2 i.
k= I
f= l
c) En dédui re :
+oo 1
rr2
4) En utilisant L 2
= - (cf. exercice 4.3.22 p. 266),
n= I n
6
établi r que la probabilité pour que deux nombres entiers
6
~ l soient premfors entre eux est 2 (cette probabilité
7T
étant, par définition ici, lim q,,
2
).
noo n
p 4.4 Produits infinis
Ce problème P 4.4 étudie les produits infinis, analogues multiplicatifs des séries.
Soit (Z n ) 11 ;;.N une suite dans lK - {O}. On dit que le produit
infini TI Zn converge si et seulement si la suite (Pn )n;;:O
n;;:O
n
définie par ('v' n E N, Pn = TI zk) admet une limite non
k= O
nulle dans lK.
Il est commode, pour la suite de l'étude, d'exclure le cas où P,, tend verso quand
n tend vers l'infini.
+oo
Si c'est le cas, cette limite est notée TI Zn.
n=O
Analogue à: si une série L u 11 converge, alors u,, tend vers 0 lorsque n tend
vers l'infini.
11 ;;:o
1 ) a) Montrer que, si un produit infini TI Zn converge,
n;;:O
alors Zn -----+ 1.
noo
b) Examiner la réciproque de a).
On essaie de ramener une étude de produit infini à une étude de série.
2) Soit (xn )ne N une suite à termes dans IR+. Montrer que
le produit infini TI Xn converge si et seulement si la série
n;;:O
L ln Xn converge et que, dans le cas de convergence, on a :
n;;:O
+oo
( +oo
)
1
Q xn =exp ~ ln x n .
3) a) Soit (u n)n eN une suite à termes dans IR+. montrer
que le produit infini TI (1 + u n) converge si et seulement
n;;:O
si la série L un converge.
n;;:O
b) Etudier la nature (convergence ou divergence) des produits infini s suivants, où a E]O; +oo[ est fi xé :
a) TI (1 + ~a )
n;;: 1
f3)
y) TI (1 + _1 ) .
2
nlnn
n;;:
4) a) Soit (u,, )n eN une suite complexe te lle que:
l
'v' n E N, lu11 I < 1
L lu,, ! converge.
n ~O
Montrer que le produit infini TI ( 1 + un) converge.
b) Soie nt z E C tel que lzl < 1 et (an )neN une suite complexe telle que :
l
'v' n E N, 0 < !an 1 < l
L (1 - !an 1) converge.
n;;:O
Montrer qu'il existe N E N tel que le produit infini
TI
lan l(an - z)
_
converge.
' N a,, (1 - anz )
n ~
0
c
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284
Chapitre 4 • Séries
Pour n E N*, on note qn le nombre de couples (u , v) de
(N* ) 2 tels que u ~ n , v ~ n , pgcd (u ,v) = 1.
1) Montrer
q" =n
2
- L (E (!!_))
2
+ L (E (-n ))
2
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P l
Pl < P2
P l P2
où les sommes sont indexées sur les nombres premiers
~ 2.
2) Soit µ, : N* -----+ Z la fonction de Mobius, définie par:
l
µ,(1 ) = 1,
µ, (p J • •.• · Pr ) = ( - 1 )' si r E N* et p 1 , ... , Pr sont
µ,(n ) = 0 sinon.
pre miers et deux à deux di stincts,
a) Montrer, pour tout n de N* : q,, = t µ,(k) ( E ( Ï))
2
1
·
1m q,, - - +L oo µ, (k) .
b) En déduire :
noo n2
k2
k= l
Intervention de séries et de familles sommables dans une question d'arithmétique.
3) a) Soient (ak)k ;;: J, (b e)e;;: I deux suites à termes comL
ak
L be
plexes, et a E N, tels que les séries
- et
- soit
k a
f_a
k;;: l
e;;: I
abso lume nt convergentes.
Montrer :
(
+
00
ak ) ( +oo be) +oo 1 (
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'°' - '°' - = '°' - '°' a1b ·
L..., k"
L..., f "
L..., n" L..., ' ' ·
k= I
l = I
n= I
dl n
b) Etablir :
'v'n EN* , L µ,(d ) = { ~
d ln
sin = 1
sin # 1 ·
(
+oo µ,(k) ) ( +oo _. !. . _ ) =
2= k1 2= e2 i.
k= I
f= l
c) En dédui re :
+oo 1
rr2
4) En utilisant L 2
= - (cf. exercice 4.3.22 p. 266),
n= I n
6
établi r que la probabilité pour que deux nombres entiers
6
~ l soient premfors entre eux est 2 (cette probabilité
7T
étant, par définition ici, lim q,,
2
).
noo n
p 4.4 Produits infinis
Ce problème P 4.4 étudie les produits infinis, analogues multiplicatifs des séries.
Soit (Z n ) 11 ;;.N une suite dans lK - {O}. On dit que le produit
infini TI Zn converge si et seulement si la suite (Pn )n;;:O
n;;:O
n
définie par ('v' n E N, Pn = TI zk) admet une limite non
k= O
nulle dans lK.
Il est commode, pour la suite de l'étude, d'exclure le cas où P,, tend verso quand
n tend vers l'infini.
+oo
Si c'est le cas, cette limite est notée TI Zn.
n=O
Analogue à: si une série L u 11 converge, alors u,, tend vers 0 lorsque n tend
vers l'infini.
11 ;;:o
1 ) a) Montrer que, si un produit infini TI Zn converge,
n;;:O
alors Zn -----+ 1.
noo
b) Examiner la réciproque de a).
On essaie de ramener une étude de produit infini à une étude de série.
2) Soit (xn )ne N une suite à termes dans IR+. Montrer que
le produit infini TI Xn converge si et seulement si la série
n;;:O
L ln Xn converge et que, dans le cas de convergence, on a :
n;;:O
+oo
( +oo
)
1
Q xn =exp ~ ln x n .
3) a) Soit (u n)n eN une suite à termes dans IR+. montrer
que le produit infini TI (1 + u n) converge si et seulement
n;;:O
si la série L un converge.
n;;:O
b) Etudier la nature (convergence ou divergence) des produits infini s suivants, où a E]O; +oo[ est fi xé :
a) TI (1 + ~a )
n;;: 1
f3)
y) TI (1 + _1 ) .
2
nlnn
n;;:
4) a) Soit (u,, )n eN une suite complexe te lle que:
l
'v' n E N, lu11 I < 1
L lu,, ! converge.
n ~O
Montrer que le produit infini TI ( 1 + un) converge.
b) Soie nt z E C tel que lzl < 1 et (an )neN une suite complexe telle que :
l
'v' n E N, 0 < !an 1 < l
L (1 - !an 1) converge.
n;;:O
Montrer qu'il existe N E N tel que le produit infini
TI
lan l(an - z)
_
converge.
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n ~