Montrer que, pour tout (x , y ) de A 2 tel que x y = yx ,
on a:
En particulier, pour tout x de A , ex est inversible dans A
et : (ex) - 1 = e- x.
4.3.32
a) Montrer que le produit de la série semi"
(- l)n
11
A
,
•
d •
convergente L... Jn par e e-meme est une sene 1vern;;d
gente .
Problèmes
P 4.1 Ensemble triadique de Cantor
On note Co = [O; l] ,
C 1 = Co - ] ~ ; ~ [ ,
C 2 = C 1 - o ~; Hu n; H)·
etc,
c _ o ________________ _
0
c 0
1
1
3
2
3- - - - - -
C _ O_.!. 2
1
2
9 9- -3
2
7 8
3- -9 9- -
c, -
C = n Cn, appelé ensemble (triadique) de Cantor.
n EN
Autrement d it, C est l'ensemble des nombres de [O; 1] ad mettant un
développement triadique ne comportant que des 0 ou 2.
On sai t (cf. exercice l.3.6 p. 66) que C est un compact
0
de IR et que C = 0 .
1) Montrer que l'application rp qui, à tout élément
+oo
a = (an)n;;d de {0,2}N· , associe L a nrn est une bijecn= I
tion de {0,2}N* sur C.
2) a) Montrer que l'application f qui, à tout x de C , asso+oo
· "
2 - n- I , ( )
cte L... a"
, ou Gn n ~ I = rp - 1 (x), est une surjection
n= I
de C sur [O; l] .
Problèmes
b) Montrer que le produit de la série semi-co nvergente
"
(- 1)"
Il
A
,
•
L... - - par e e-meme est une sene convergente.
n ~ I
n
4.3.33
Soit L un une série rée lle sem i-convergente.
n ~O
Montrer que, pour tout S de IR , il existe une permutatio n rp
de N telle que la série L U cp(n) converge et ait pour
n ~ O
somme S.
b) E n déduire que C n'est pas dénombrable (on utilisera la
non-dénombrabilité de IR) .
3) Démontrer: 'v'p E N - {O, 1}, C + ... + C = [O; p ].
' - . - '
p termes
(On pourra commencer par les cas p = 2 , p = 3 ).
P 4.2 Nombres de Liouville
1) Soient n E N - {0, 1}, a E IR - Q te l qu'il e xiste
P E Z[X], de degré n , tel que P (a ) = O. Démontrer qu'il
existe c E IR~ tel que :
'v'(p ,q) E Z X N*, l a-E..I > .!:.._ .
q
q n
Ainsi, les nombres algébriques non rationnnels sont mal approchés par les
rationnels.
2) Soit (u 11 ) 11 ~ 1 une suite à termes dans Z, bornée et non
+oo
stationnaire sur 0 ; on note L = L Un 10- n!.
n= I
Dans l'écriture décimale de L , les chiffres non nuls se raréfient.
Montrer que L est transcendant, c'est-à-dire qu'il n'existe
aucun polynôme P de Z[X] - {0} tel que P(L) =O. Par
+oo
exemple, L: , o-"
1 est transcendant.
n=l
P 4.3 Probabilité pour que deux entiers ~ 1
soient premiers entre eux
Il s'agit dans ce problème P 4.3 de calculer la probabilité pour que deux entiers
~ l soient premiers entre eux, c'est -à-dire ici, la limite de q; lorsque n tend
n
vers l'infini.
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