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282
Chapitre 4 • Séries
Les méthodes à retenir
Séries doubles
+oo
• Pour établir qu'une somme de série convergente L ap est égale à une autre somme de série convergente
p=O
+oo
L {Jq, on pourra essayer de faire intervenir une suite double (up ,q)(p,q)ENZ , de façon que:
q=O
{ Vp E 1\1,
+oo
ap = Lup,q
q=O
et voir si on peut appl iquer le théorème d'interversion.
et Vq EN,
+oo
{Jq = L up ,q
p=O
+oo
+oo+oo
+oo+oo
+oo
Ainsi, formellement :
LaP = LLup,q = L L u p,q = LfJq
p=O
p=Oq=O
q=Op=O
q=O
(Exemple p. 277 et ex. 4.3.29, 4.3.30).
Exercices
4.3.26 Trouver un exemple de suite double réelle
( u p,q) (p ,q)ef\12 telle que:
• Pour tout p E N, la série L up ,q est absolument converq ";30
gente
b) Pour (p ,q) E (N*) 2 , on note:
u,, ~ 1 P' ~ q2
si pi- q
si p =q
•La série L 1~ up,q1 est convergente
p ";30 q= O
• Pour tout q E N, la série L up ,q est absolument converp ";30
Montrer: +oo ( +oo
)
+oo ( +oo
)
: ; : ; Up ,q
= - : ; : ; Up ,q f- 0.
gente
•La série L ( ~ u p,q ) est divergente.
Pour les exercices 4.3.30 et 4.3.31, on admettra que, pour
+oo x"
tout x de (- 1; 1(: 2: - = - ln (l - x).
n= I n
q ";30
p=O
4.3.27 On considère la fonction Ç de Riemann, définie,
+oo 1
pour x E]l ; +oo[, par Ç(x) = L --x·
p= l p
Démontrer:
4.3.28 a) Pour q E N* fixé, montrer que la série
1
L 2 2 converge et calculer sa somme.
,,,,1 p -q
p #q
~ Ç(n) -1
4.3.29 Démontrer : L..,
= 1 - y .
n=2
n
4.3.30
+oo (-l)"Ç(n )
Démontrer: L
=y.
n=2
n
4.3.31
Soit A une algèbre (associative et unitaire) de
Banach. Pour x E A , on a défini :
+oo 1
ex p(x) =ex = L - x" (cf. 4.3.3 2) p. 248).
n=O n!