Solutiott
l
Notons, pour tout (n,p) E N
2 tel que n ? 2 et p ? 1 : u,, P = - - ? O.
,
(2p)"
•Soit p ? 1 fixé. La série géométrique L (2-)" converge, car 1 2_ 1 < 1,
11;;.2 2p
2p
et on a:
I: ul l,p = I: (f )" = (f )
2 I: (f )"
11=2
11= 2
p
p
11=0
p
1
1
- - - - -
(2p)2
1
1- -
2p
2p(2p - 1)
1
•Puisque
2p(2p - 1)
l
- ? 0 , d'après l'exemple de Riemann (2 > l) et le
poo 4p2
1
théorème d'équivalence pour des séries à termes réels ? 0, la série L ---~ , 2p(2p - 1)
p .ç
converge.
On a, pour tout N EN*:
N
1
N (
1
1)
N
1
N
1
2= 2p(2p - 1) = 2= 2p - i - 2p = 2= 2p - 1 - 2= 2p
11= 1
p=I
p= I
p= I
(
2N 1
N
1 )
N
l
2N 1
N 1
= 2: - -2= - -2= -= 2= - -2= -·
q=I q
r= I 2 r
p= I 2 P
q=I q
11=1 n
On sait:
N 1
L - = ln N +y+ o (1) , d'où:
n
Noo
11=1
N
1
L
=(ln(2N)+y +o( l))-(InN+y+o(l))= ln2+o(l),
p=I 2p(2p - 1)
N
1
donc: ~
-----+ ln 2.
f;;r 2p(2p - 1) Noo
Ainsi, pour tout p ? 1, la série L u 11 .p converge, et la série L ( f: u 11 .p)
n ~2
p~ I
n= 2
converge et a pour somme ln 2.
4 . 3 •Séries à termes dans un evn (2e étude)
Cottseils
On introduit une suite double
(u11,p)11? 1. "" ' ' de façon que l'expression
proposée dans l'énoncé corresponde à
+oo
LLU11,p·
11 ~ 2 p= I
(
1 )2
Mise en facteur de Zp dans la somme
de la série géométrique.
Utilisation d'une décomposition en
éléments simples.
On présente les indices impairs à partir de
tous les indices en enlevant les indices
pairs.
Introduction de la constante d'Euler, cf.
4.3.7 2) Exemple, constante qui d'ailleurs
disparaîtra ensuite du calcul.
D'après le théorème d'interversion des sommations, dans le cas de IR+ , on déduit Cf.§ 4.3.10 1 )Théorème.
que, pour tout n ? 2, la série L u11.p converge, que la série L ( f: u )
p ;;. I
11;;.2 p= I n. p
+oo ( +oo
)
+oo ( +oo
)
converge, et que : L L u1 1.p = L L u, ,, p = ln 2.
11=2 p= I
p=I
11=2
Enfin, pour tout n ? 2 :
On conclut:
+oo
+oo
1
1 +oo 1
1
Lun,p = L (2 )" = 211 L -;; = 2,,s(n).
p = I
p= l
p
p = I p
~ s(n) = ln2.
L.., 2"
n= 2
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Notons, pour tout (n,p) E N
2 tel que n ? 2 et p ? 1 : u,, P = - - ? O.
,
(2p)"
•Soit p ? 1 fixé. La série géométrique L (2-)" converge, car 1 2_ 1 < 1,
11;;.2 2p
2p
et on a:
I: ul l,p = I: (f )" = (f )
2 I: (f )"
11=2
11= 2
p
p
11=0
p
1
1
- - - - -
(2p)2
1
1- -
2p
2p(2p - 1)
1
•Puisque
2p(2p - 1)
l
- ? 0 , d'après l'exemple de Riemann (2 > l) et le
poo 4p2
1
théorème d'équivalence pour des séries à termes réels ? 0, la série L ---~ , 2p(2p - 1)
p .ç
converge.
On a, pour tout N EN*:
N
1
N (
1
1)
N
1
N
1
2= 2p(2p - 1) = 2= 2p - i - 2p = 2= 2p - 1 - 2= 2p
11= 1
p=I
p= I
p= I
(
2N 1
N
1 )
N
l
2N 1
N 1
= 2: - -2= - -2= -= 2= - -2= -·
q=I q
r= I 2 r
p= I 2 P
q=I q
11=1 n
On sait:
N 1
L - = ln N +y+ o (1) , d'où:
n
Noo
11=1
N
1
L
=(ln(2N)+y +o( l))-(InN+y+o(l))= ln2+o(l),
p=I 2p(2p - 1)
N
1
donc: ~
-----+ ln 2.
f;;r 2p(2p - 1) Noo
Ainsi, pour tout p ? 1, la série L u 11 .p converge, et la série L ( f: u 11 .p)
n ~2
p~ I
n= 2
converge et a pour somme ln 2.
4 . 3 •Séries à termes dans un evn (2e étude)
Cottseils
On introduit une suite double
(u11,p)11? 1. "" ' ' de façon que l'expression
proposée dans l'énoncé corresponde à
+oo
LLU11,p·
11 ~ 2 p= I
(
1 )2
Mise en facteur de Zp dans la somme
de la série géométrique.
Utilisation d'une décomposition en
éléments simples.
On présente les indices impairs à partir de
tous les indices en enlevant les indices
pairs.
Introduction de la constante d'Euler, cf.
4.3.7 2) Exemple, constante qui d'ailleurs
disparaîtra ensuite du calcul.
D'après le théorème d'interversion des sommations, dans le cas de IR+ , on déduit Cf.§ 4.3.10 1 )Théorème.
que, pour tout n ? 2, la série L u11.p converge, que la série L ( f: u )
p ;;. I
11;;.2 p= I n. p
+oo ( +oo
)
+oo ( +oo
)
converge, et que : L L u1 1.p = L L u, ,, p = ln 2.
11=2 p= I
p=I
11=2
Enfin, pour tout n ? 2 :
On conclut:
+oo
+oo
1
1 +oo 1
1
Lun,p = L (2 )" = 211 L -;; = 2,,s(n).
p = I
p= l
p
p = I p
~ s(n) = ln2.
L.., 2"
n= 2
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