Chapitre 4 • Séries
Formule fondamentale sur l'exponentielle complexe.
Ce dernier membre tend vers 0 lorsque l'entier N tend vers l'infini, puisque les séries L lupl et L lvq 1
convergent.
Ceci montre :
N
Comme LUn
n=O
-----+
Noo
+oo
Lu,,
n=O
N
+oo
et :L: v,, -;;;: :L: v,,,
n=O
n=O
-----+ O.
Noo
on déduit:
2N
( +oo
) ( +oo )
~Wn -;;;: ~U 11 ~V 11 •
Puisque la série L w,, est convergente, on conclut :
n~O
+oo
( +oo
) ( +oo )
~w,, = ~u,, ~Vn .
Corollaire
exp(z + z') = exp(z)exp(z').
Preuve
p ;;,O
q;;,O
•
'[!J Cf.4.3.3 2) p. 248.
n
Pour tout z de C, la série~~ est absolument convergente, et sa somme est notée exp(z).
L nt
n;;,O .
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
280
Soit (z,z') E c 2 . D'après le théorème précédent, la série-produit L Wn des séries absolument convern;;,O
z"
z'"
gentes ~ - et ~ - est absolument convergente et a pour somme exp(z)exp(z').
Ln! Ln!
n;;,O
n;;,O
Utilisation de la formule binôme de
Newton.
Mais, pour tout n de N :
n
k
!n-k
1 n
k
1
~ Z
Z
~ c k ln-k
I Il
Wn = L - k 1 ( _ k)' = 1 L 11 Z Z = l(z + Z ) ,
k=O · n
·
n · k=O
n ·
+oo
+oo l
exp(z)exp(z') = L w 11 = L ;; (z + z')" = exp(z + z') .
n=O
n=O ·
•
d'où:
Exemple de calcul d'une somme de série par utilisation d'une série double
+oo Ç(n)
+oo 1
Existence et calcul de~ --, où ç désigne la fonction dzeta de Riemann: ç :]1; +oo[-----+ JR, s 1--+ Ç(s) = ~ - .
L~
Lp•
n=2
p=I