Présentation de l'indexation sous une
forme plus commode.
Dans le schéma, la partie en bleu foncé
correspond à l'indexation 0 ~ p ~ N,
0 ~ q ~ N,p + q ~ N,etlapartie
bleue complète correspond à l'indexation
0 ~ p ~ N, 0 ~ q ~ N.
Dans le schéma:
• la partie bleu foncé correspond à
l'indexation :
0 ~ p ~ N, 0 ~ q ~ N
• la partie bleu foncé et bleu moyen
correspond à l'indexation :
0 ~ p ~ 2N,
0 ~ q ~ 2N,
p+q ~ 2N
• la partie bleu moyen et bleu clair
correspond à l'indexation :
(O ~ p ~N . N+ l ~q~ 2N)
ou
(N + 1 ~ p ~ 2N, 0 ~ q ~ N) .
4 . 3 •Séries à termes dans un evn (2e étude)
Pre uve
• On a, pour tout N E N :
~ lw11I = ~ 1 ~ukv11-kl ~ ~~ lukl lv11-kl = o. ; ;p. ; ; ~. ; ;q. ; ;N luPI lvql
p+q.;; N
q
N r-~~~~~~---.
N
p
Ceci montre que les sommes partielles de la série L 1w 11 1, qui est à termes dans R+, sont majorées.
n ~O
D'après le lemme fondamental , la série L lw,, 1 est donc convergente.
n ~O
Ainsi, la série L w, , est absolument convergente, donc convergente.
11 ~ 0
• On a, pour tout N E N :
1 ~W1 1 -(~u")(~v") I = 1 ~ (~ukVn-k)-(~u")(~vn) I
=I L UpVq- L UpVql= I L UpVql
o.;;p.;;2N,O.;;q.;;2N
o.;; ,,.;;N, o.;;q.;;N
N+ 1.;;p+q ,;;,2N
p+q.;;2N
N
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