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Chapitre 4 • Séries
Mise en place des hypothèses du
théorème de Fubini.
Le contexte naturel d'utilisation du
produit de Cauchy de deux séries est
celui des séries entières, voir ch 6.
Pour tout n E N, la série L U n.q est absolument convergente, et (série géométrique) :
q? +oo
2e - (2n+ l)a
L 1 1
~ 2 e-(2n+ l)a ...__ O
Un.q =
~
.
1 - e - 2(2n+ l)a 1100
q=O
Comme la série géométrique L 2 e -<
2
n+ IJa converge, par théorème d'équivalence pour des
n~O
+oo
séries à termes dans lR+, la série L L lu 11 .q 1 converge.
11?<0 q=O
D'après le théorème de Fubini, on peut intervertir les deux sommations.
Comme, pour tout q E N :
+oo
+oo
2( l)q -(2q+ l )a
( l)q
°'"'u = °' "' 2 (-l )qe - (211+1)(2q+l)a = - e
= ___ - __ _
~ ll,q
~
1 - e - 2( 2 q+l)a
sh (C2q + l)a)'
on obtient:
+oo ( +oo
)
+oo
(-l)q
~ f,;u,,. q = ~ sh((2n+ l)a)'
et on conclut :
+oo
l
+oo +oo
+oo +oo
+oo
(- l )q
+oo
( - l)11
~ch ((2n+ l)a) = ~ ~un.q = ~~un.q = ~ sh ((2q + l)a) = ~ sh ((2n + l)a)°
3) Produit de Cauchy de deux séries numériques
Soient L Un, L Vn deux séries à termes dans OC . On appelle
n ;;,O
n ;;,O
produit de Cauchy de L u 11 et L v 11 la série L Wn définie par:
11 ;.0
11 ,,,0
n ;;,O
n
VnEN, Wn=LUpVn-p= L
UpVq= UoVn+U1Vn -1+ ... +unVo.
p=O
p+q=n
Si les séries numériques L un et L Vn sont absolument convergentes, alors leur
n ;;,O
n ;;,O
série produit de Cauchy L Wn est absolument convergente, et :
n ;;,O
+oo (+oo ) (+oo )
~Wn = ~Un ~Vn .