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Utilisation du théorème de majoration
pour des séries à termes
dans lR+. lesséries L l~up,ql
p~O q=O
et L l~up.ql·
q~O p=O
En pratique, le théorème de Fubini peut
servir à établir une égalité entre deux
sommes de séries, comme dans l'exemple
ci-contre.
Utilisation de:
e' + e1
cht = - - -
2
1
+oo
etde: - - = L (- l )"u"
1 + u 11=0
pour lui < 1.
4.3 •Séries à termes dans un evn (2e étude)
De plus, puisque :
V p E N,
+oo
Vq E N,
~ L lup.ql.
p=O
les séries L ( ~ up.q ) et L ( ~ up.q ) sont absolument convergentes, donc convergentes.
p ~O
q=O
q ~ O
p=O
•Soit Q EN.
On a:
1
Q +oo
+oo +oo
1
1 +oo Q
+oo +oo
1
1 +oo +
00
1
LLup.q - LLup.q = LLup.q - LLup.q = L L up.q ·
q=O /J=O
p=O q=O
p=O q=O
p=O q=O
/J=O q=Q+ I
On peut appliquer le résultat du point précédent à la suite double (u 1 , ,q )p ~O. q ~ Q • puis utiliser le théorème
d'interversion dans IR+ :
l
+oo +oo
1
+oo +oo
+oo +oo
L L up.q ~ L L lu p.ql = L L lup.ql·
p=O q=Q+I
p=O q=Q+I
q=Q+ I p=O
+oo
Comme la série L L lu p,q 1 converge, son reste tend vers 0:
q ~O p=O
Il en résulte :
et donc:
Exemple:
+oo +oo
L: L: 1up,q1 -----+ O.
Qoo
q=Q+ I /J=O
+oo +oo
+oo +oo
LLUp,q = LLUp,q•
q=O p=O
p=O q=O
Montrer, pour tout a E JO: +ool :
·"(:
1
· :X,
( - 1 )"
~ ch ( (211 + 1 )a) = ~ sh ( (211 + 1 )a) ·
•
On a, pour tout n E N, en utilisant une série géométrique, dont la valeur absolue de la raison est strictement inférieure à l :
l
ch ( (2n + 1 )a)
2
e (211+ l)a + e - (211+ l)a
2 e -(211+ l)a
l + e - 2(211+l )a
+oo
+oo
= 2e - (211+l)a L(-l)q (e - 2(211+1Ja )q = L 2(-l)"e - (211+1)(2q+ l)a .
,~
, ~
Notons, pour tout (n ,q) E N 2 : u 11 .q = 2(- l)"e -< 211 + 1 H 2 q+ IJa .
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