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Rappels de notation :
\J., · B (X, E) est l'ensemble des applications bornées de X dans E.
• C(X,E) est l'ensemble des applications continues de X dans E.
5.1 ·Suites d'applications
Supposons par exemple I =]a; +oo[, a E IR (les autres cas d'intervalles se traitent de façon analogue).
Pour tout xo de / , il existe (a,b) E IR 2 tel que: a est continue en xo
[a:b]
et que [a ; b] est un voisinage de xo dans IR, il en résulte que f est continue en xo.
Ainsi la convergence locale uniforme peut permettre le transfert de propriétés locales (continuité ci-dessus, classe C 1 plus loin, sous certaines conditions, 5.1.5 Cor. l p. 300).
Si X est une partie compacte de F , alors C(X,E) est un sev fermé de B(X; E) muni
l de JJ.Jloo·
)
Preuve
Puisque X est compact, toute application continue de X dans E est bornée, donc :
C(X, E) C B(X ; E).
Il est clair ensuite que C (X , E) est un sev de B(X; E).
Montrons queC(X,E) est fermé dans (B(X; E), 11.lloo) ·
Soit (f 11 ) 11 EN une suite d'éléments de C(X, E) convergeant, dans ( B(X; E) , 11. l loo), vers un élément f
de B(X; E). Puisque llf11 - flloo ~ 0, d'après 5.1.I Prop. 3 p. 289, Cfn) 11 EN converge uniformé1100
ment vers f sur X. Ensuite, d'après le Théorème précédent, f est continue sur X, donc f E C(X, E).
Utilisation du théorème sur convergence uniforme et continuité
Soient I un intervalle de IR, (f,, : I ~ IR),,eN une suite d'applications continues sur I et convergeant uniformément sur l vers
une application f, (x,.)neN une suite dans I convergeant vers un élément .e de/. Montrer: fn (x,,) ~ f (l).
Solution
On a, pour tout n E N :
0 ~ lf,.(x11) - f(l)I = IJ,,(x11) - f(x11) + f(xn) - f(l)I
~ lf,,(x11) - f(x,,)I + lf(xn) - f(l)I.
D'une part, puisque (f,,),. converge uniformément vers f, à partir d'un certain rang,
f,, - f est bornée, et llf,, - flloo ~ O.
1100
Comme: lf,,(x.) - f(x11)I ~ llf,, - flloo. il s'ensuit: lf,,(x.) - f(x11)I ~ O.
1100
D'autre part, puisque les f,, sont continues en .e et que (f,.) 11 converge uniformément
vers f, f est continue en l, donc f (x,,) ~ f (l).
1100
Il en résulte, par addition et par le théorème d'encadrement :
lf,.CXn) - f (l)I ~ 0 , et donc: f,,(xn) ~ f (l).
1100
1100
1100
Conseils
On intercale f(x,,) .
Utilisation du théorème sur convergence
uniforme et continuité.
295
Rappels de notation :
\J., · B (X, E) est l'ensemble des applications bornées de X dans E.
• C(X,E) est l'ensemble des applications continues de X dans E.
5.1 ·Suites d'applications
Supposons par exemple I =]a; +oo[, a E IR (les autres cas d'intervalles se traitent de façon analogue).
Pour tout xo de / , il existe (a,b) E IR 2 tel que: a est continue en xo
[a:b]
et que [a ; b] est un voisinage de xo dans IR, il en résulte que f est continue en xo.
Ainsi la convergence locale uniforme peut permettre le transfert de propriétés locales (continuité ci-dessus, classe C 1 plus loin, sous certaines conditions, 5.1.5 Cor. l p. 300).
Si X est une partie compacte de F , alors C(X,E) est un sev fermé de B(X; E) muni
l de JJ.Jloo·
)
Preuve
Puisque X est compact, toute application continue de X dans E est bornée, donc :
C(X, E) C B(X ; E).
Il est clair ensuite que C (X , E) est un sev de B(X; E).
Montrons queC(X,E) est fermé dans (B(X; E), 11.lloo) ·
Soit (f 11 ) 11 EN une suite d'éléments de C(X, E) convergeant, dans ( B(X; E) , 11. l loo), vers un élément f
de B(X; E). Puisque llf11 - flloo ~ 0, d'après 5.1.I Prop. 3 p. 289, Cfn) 11 EN converge uniformé1100
ment vers f sur X. Ensuite, d'après le Théorème précédent, f est continue sur X, donc f E C(X, E).
Utilisation du théorème sur convergence uniforme et continuité
Soient I un intervalle de IR, (f,, : I ~ IR),,eN une suite d'applications continues sur I et convergeant uniformément sur l vers
une application f, (x,.)neN une suite dans I convergeant vers un élément .e de/. Montrer: fn (x,,) ~ f (l).
Solution
On a, pour tout n E N :
0 ~ lf,.(x11) - f(l)I = IJ,,(x11) - f(x11) + f(xn) - f(l)I
~ lf,,(x11) - f(x,,)I + lf(xn) - f(l)I.
D'une part, puisque (f,,),. converge uniformément vers f, à partir d'un certain rang,
f,, - f est bornée, et llf,, - flloo ~ O.
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Comme: lf,,(x.) - f(x11)I ~ llf,, - flloo. il s'ensuit: lf,,(x.) - f(x11)I ~ O.
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D'autre part, puisque les f,, sont continues en .e et que (f,.) 11 converge uniformément
vers f, f est continue en l, donc f (x,,) ~ f (l).
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Il en résulte, par addition et par le théorème d'encadrement :
lf,.CXn) - f (l)I ~ 0 , et donc: f,,(xn) ~ f (l).
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Conseils
On intercale f(x,,) .
Utilisation du théorème sur convergence
uniforme et continuité.
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