-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
272
Chapitre 4 • Séries
Exemple d'utilisation des théorèmes de sommation des relations de comparaison
Il
1
On note, pour tout n E N* : S 11 = L e n+k et on se propose de former un développement asymptotique de S 11 à la précision
k= l
o ( ~ 2 ) lorsque l'entie r n tend vers .l'infini.
a) 1) Montrer qu'il existe a E JO ; + oo[ et C E [O ; +oo[ tels que :
\l x E [O ; a], iex - (1 +x)I ~ C x
2 .
11
1
2) Montrer : L -- ~ ln 2.
k=I n + k 1100
3) Déduire : S,, = n + ln 2 + o ( 1) .
1100
b) On note, pour tout n E N* : v 11 = S,, - n - ln 2.
1) Montrer :
2) Montrer :
Vn -Vri- 1 ~ -
1100 8n3 ·
+oo 1
1
2= k3 ,,:, 2n2 .
k=n+ l
3) Déduire : S11 =n + ln2 - 1 ~n 2 + 0( ~ 2 ).
SolutioH
a) 1) On dispose du développement limité en 0 : ex = 1 + x + 0 (x
2 ) .
Par définition de la notation 0 , il existe a E JO ; +oo[ et C E [O ; +oo[ tel s que :
\l x E [O ; a], IO(x
2 )1 ~ Cx
2 , d'où : ie x - (1 + x) I ~ Cx
2 .
2) On a :
Il
1
1 Il
1
L:-= - 2=- k
k= 1 n + k n k= 1 1 + -
n
1
1
1
- - d x = [ln ( l +x)]~ = Jn2.
0 1 + x
3) Notons N = E ( ~) + 1 E N*.
On a, pour tout n EN* te l que n ;;:::: N et tout k E {l , ... ,n} :
1
1
1
0 ~ - - ~ - ~ - ~ a, d'où, d'après 1) :
n + k
n
N
l
e n:h - (1 + _l )1 ~ c(-1 )1 ~ c.
n + k
n + k
n 2
En sommant, pour k allant de 1 à n , on déduit :
CoHseils
Rappel:
x2
ex= l +x+ - + o (x 2 ).
x-+0
2
On reconnaît une somme de Riemann,
cf. Analyse MPSI § 6.2.7.
1
L'application x f----+ - - est continue
l +x
sur le segment [O ; 1], donc on, peut appliquer le théorème sur les sommes de
Riemann.
Le réel a > 0 a été défini dans a) 1).