Solution
~ L e 11+k - 1 + - - ~ L 2 = n 2 = - .
Il
1 1 (
1 )1 Il c
c c
k= I
n + k
k= I n
n
n
Il
1
Ceci montre : s/ 1 - n - L -- -----+ O.
k= I n + k noo
En utilisant 2), on déduit :
(
11
1 )
11
1
S11 -n = S,, -n-2= -
+ 2= -
k = I n + k
k= I n + k
-----+ 0 + ln 2 = ln 2.
1100
On conclut: S,, = n+ ln2+ o(l ) .
11 00
b) 1) On a:
v,, - v11-1 = (s" - n - ln2) - (s,,_1 - (n - 1) - ln 2)
n
1
n- 1
1
= s,, - s,,_1 - 1 = L.:: e n+k - L.:: e 11-l+k - 1
k = I
k = I
,l
1
n- 2
1
= l...::e n+r - l...::e n+r -1
k = I
k= O
1
1
1
= e21r=î +e 'r.ï - eiï -1.
On forme des développements asymptotiques lorsque l'entier n tend vers l'infini :
e ïï =l + - + - + - + o -
,
1
1
1
1
( l )
n
2n 2 6n 3
n 3
e'liî= l + - + - + - - + o - ,
1
1 1 1 (1)
2n
8n 2
48n 3
n 3
e 211-1 = 1 + - - +
+
+ o
_ I
1
1
1
(
1
)
2n - 1 2(2n - 1) 2
6(2n - 1)3
(2n - 1)3
1 (
1 )-I 1 ( 1 )- 2
1 (
1 )-J ( 1 )
= l + - 1 - -
+ - 1 - -
+ - - 1 - -
+ o -
2n
2n
8n 2
2n
4 8n 3
2n
n 3
=1 + - 1 + - + -
+ -
1 + - + -
+o -
1 ( 1 1 ) 1 ( 1) 1 ( 1)
2n
2n
4n 2
8n 2
n
48n3
n3
= 1 + _.!.._ + (~ + ~) _.!._ + ( ~ + ~ + _.!.._) _.!._ + a( _!_ )
2n
4
8 n 2
8
8
48 n 3
n J
On obtient :
V,, - Vn- 1
-(1 + ~ + -
1
- + -
1
-)-1 + o(_!_) = -
1
- + a(_!_) ·
n
2n 2
6n 3
n 3
8n 3
n 3
1
On conclut : v,, - v,,_ 1
noo 8n3 ·
4. 3 •Séries à termes dans un evn (2e étude)
Conseils
Inégalité triangulaire.
~ ne dépend pas de k.
n
o(l ) représente n'importe quelle suite de
limite O.
Changement d'indice k +--- k - 1 dans la
deuxième sommation.
Les termes d'indices 1 à n - 2 se simplifient deux par deux.
Rappel:
x2
x 3
ex = 1 + x + - + - + o(x
3 ).
x -> 0
2
6
Rappel, pour À E IR fixé:
À( À - 1)
( 1 + x/' = 1 +À.X+
x
2
x--> 0
2
+ o(x
2 ) .
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