"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.....,
.s::
· o cf.4.3.7 , ) Exemple p. 2sa.
0
u
4 . 3 •Séries à termes dans un evn (2e étude)
N
n
Comme L Clluk ll - evk) est fixé (indépendamment den) et que e L Vk ~ +oo (puisque L v, ,
k=O
k=O
11 ) 0
est divergente et à termes dans lR+, il existe N1 E N tel que N1 ~ Net que:
N
n
'Vn ~ N1, L(lluk ll -evk) ~e Lvk.
k=O
k=O
Finalement: "ln ~ N1, l ltukll: : ; ; 2e tvk. et donc tuk = ,,~ (tvk)· •
k=O
k=O
k=O
k=O
Soient L un une série à termes dans E, L Vn une série à
n ) O
n ) O
termes réels.
Si
L
{
Vn EN, Vn :;.::: 0
L Vn diverge
n ) O
Un= 0 (vn)
noo
Preuve
Analogue à celle de la Proposition 1.
alors
Soient L un, L Vn deux séries à termes réels.
n ) O
n ) O
Si L Vn diverge
n ) O
{
Vn EN, V 11 ~ 0
L
Un~ Vn
noo
Preuve
alors
Analogue à celle de la Prop. 2 de l) p. 269.
n
"""'Vk·
noo L
k=O
,,
•
•
Exemple: Trouver la partie principale de L J k + ( - 1 )k lorsque 11 tend vers l'infini.
k~I
n
n
La Prop. 2 s'applique, d'où : L J k + (-l )k n~ L .Jk.
k= I
k=l
n
2 J
D'autre part, par comparaison série-intégrale, on obtient : '"'.Jk ~ -n 2,
L
11003
k=l
n
2 3
ment: '"' Jk+( -J)k ~ - n2.
L
noo 3
k=l
et finale271