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0
(V)
......
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N
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.....,
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· D
0
u
270
Chapitre 4 • Séries
Application de la Proposition 1 à
L(u 11 - v 11 ) et L v 11 •
n ~O
Dans le cas des séries divergentes, ce
sont les sommes partielles qui
interviennent.
Il s'agit, pour l'essentiel, de la même
méthode que celle utilisée pour étudier
la moyenne de Césaro,cf.Analyse MPSI
P.3.1.
Preuve
Analogue à celle de la Proposition 1.
Soient L Un, L Vn deux séries à termes réels.
n;;.O
n;;.O
{
Vn EN, V 11 ;;::: 0
Si L Vn converge ,
n;;.O
L
Un ,...., Vn
noo
1
L un converge
n;;.o
alors
+oo
+oo
L
Ukn~ L Vk·
k=n+I
k=n+I
------1 Preuve
~ f: Uk - f: Vk = ,,°oo ( f: Vk)
k=n+I
k=n+I
k=n+I
+co
+co
~ L Uk ~ L Vk.
llCO
k=n+I
k=n+I
•
•
+"'1
Exemple: Trouver la partie principale de L ,
lorsque 11 tend vers l'infini.
k=ll 1 k- -r sin k
+oo
1
+oo 1
La Prop. 2 s'applique, d'où L 2 . ~ L 2 . D'autre part, par comparaison
k=n+l k + smk noo k=11+l k
+oo 1
1
+oo
1
série-intégrale, on obtient ' °"' - ~ - et, finalement : ' °"'
L..., k2 noo n'
L..., k2 + sin k noo n
k=n+ I
k=n + I
2) Cas des séries divergentes
Soient L Un une série à termes dans E, L Vn une série à termes réels.
n;;>O
n;;>O
{
Vn EN, V 11 ;;::: 0
Si L Vn diverge
n;;>O
noo
L
= o(vn)
Il
Il
alors
LUk = n~ (Lvk)·
k=O
k=O
----------------------------Preuve
Soit e > O. Puisque Un= o (v 11 ), il existe NE N tel que: Vn > N, llun ll ~ ev 11 •
noo
SoitnENtelquen > N;ona: llz= ." Ukll ~ tllukll+ t ll ukll
k=O
k=O
k=N+I
N
n
N
n
~ z.=1 1uk11+e z= w =l..: C11 uk1 1-evk)+e l..:vk.
k=O
k=N + 1
k=O
k=O