Exercice
4.3.22 Déterminer:
a) lim ( ~ ~) -Tik
noo
L.., k3
k=n+I
4.3.9
Dans le cas des séries convergentes, ce
sont les restes qui interviennent.
On revient à une définition de limite par
les e.
4 . 3 •Séries à termes dans un evn (2e étude)
b)
1
.
1 +oo (-ll ll n(l nn)
1im L: -noo
k
k=n+I
Sommation des relations de comparaison
On comparera utilement ce § 4.3.9 avec le § 3.3 sur l'intégration des relations de comparaison,
p. 182.
Dans tout ce§ 4.3.9, E désigne un espace de Banach. On peut, en première lecture et conformément au programme, se limiter à E =!K.
1) Cas des séries convergentes
Soient L Un une série à termes dans E, L Vn une série à termes réels.
Preuve
n~
n~
{
Vn E N, Vn ~ 0
Si L Vn converge ,
n ;;,O
Un = o (vn)
noo
alors
Soit s> O. Puisqueun= o(vn), ilexisteNENtelque: Vn~N, llun ll~svn .
noo
D'après le théorème de majoration, L Un est absolument convergente, donc convergente (puisque E est
n>N
complet, cf. 4.3.2 Théorème p. 244) et, pour tout n de N tel que n ~ N:
11
+oo
11
+oo
+oo
+oo
L Uk ~ L ll ukll ~ L sv,, = s L v,, ,
k=n + 1
k=n + 1
k=n+ 1
k=11 + 1
ce qui montre : ~ u,, = o ( ~ v,,).
k=11+I
noo k=n + I
Soient L Un une série à termes dans E, L Vn une série à termes réels.
n ;;,O
n ;;,O
{
Vn EN, Vn ~ 0
Si L Vn converge
n;;,o
noo
alors
L
Un= 0 (vn)
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