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0
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266
Chapitre 4 • Séries
4.3.16
Mo ntrer la convergence et calculer les sommes
des sé rie s suivantes :
a) L xncos n e et
n;;;:O
(x ,e ) E] - l ; l[ x IR
b) L: xnch n e
n;;;:O
et
L: xnshn e, (x ,e ) E IR 2 tel que
n ;;;:O
lx le lBI < 1
L
cosnx
c) . 2ncosn x
n;;;: I
que l2 cos x l > 1
e t
sinnx
L 2 11 cos 11 x '
n;;;: I
chnx
L
sh nx
d) '"°' - - - et
- - - x E IR
L....., 2nc h 11 x
2nch 11 x '
11 ;?: !
11 ;?: !
(ln (n + 1)) 2
e) ~ ln (ln n )(ln (n + 2))
l
g) ~ nJil+î + (n + l) fo
'"°' E (.Jn+l) - E(fo)
h) L.....,
n;,:1
n
L
a
a E IR
i )
Arctan
2
2 2
,
0
l + an+an
n;:;
8n
j) L Arctan 4 2
1
n - 2n + 5
n ~
1
k) l:: - n-!(-n...,.. 4 _+_ n --: 2 ::-+ - l-)
n;;;:O
l
l) L
, a E IR*
n;?: l shna sh (n + l )a
1
) L
a E IR*
m
'
0
chnach(n + l )a
n ~
2"
n) L 2 ,,~ 1 1
,
z E C tel que lz l =j:. 1
11 ;?:0 z
-
XE IR
z"
o) '"°'
1
, z E C te l que lz l < l
L....., (l - zn)(l - zn+ )
11 ;?: 1
q) '"°' _2_ sin 3 (3ne), e E IR
L....., 311
n;;;:O
te l
L
l
X
s)
- tan -
2n
2n '
n;;;:O
u) '"°'ln (4ch 2 ~ - 2ch~ - 1)
L.....,
2 11
2 11
'
n;;;:O
X E IR .
4.3.17 So it (a ,b ) E (IR+ ) 2 . Etud ie r la convergence e t calculer (lorsqu'elle converge) la somme de la série L Un
11 ;?:0
où :
'v'p E N,
4.3.18 M ontrer, pour tout x de IR+ :
+
00
(
1
1
1 )
a
+ - - - - - = ln 2
) L x + 2n + 1 x + 2n x + n
n=O
+
00
(
1
1
1
)
b)
.
+
-
= O.
?; (x + 2n + 1)2 (x + 2n )2 (x + n)2
1
4.3.19
Soit x E IR* - {- -; n E N*}. M ontrer que la
n
n
série '"°'
converge et calcuL....., (x + 1)(2x + 1) ... (nx + 1)
11 ;?: !
Ier sa somme.
n
1
4.3.20 Calculer L k(k + 2
) puis
k= 1
(
4
11
1
) "
~~ 3 "{; k(k + 2)
4.3.21 a) Pour n E N*, résoudre l'équatio n
z - 1
(
. ) 211 + 1
= 1, d 'inco nnue z E C.
z+ i
b) En déduire :
~
2 klr
_ n (2n- l )
L....., cotan - - -
.
k= I
2n + 1
3
'v'n EN*,
T(
2
1
2
c) M o ntrer : Vu E]O; l [, cotan u < u 2
< 1 +cotan u .
+oo 1
rr2
d) Conclure : '"°' - = -
L....., n2
6 ·
n= l