'
Rappelons que le reste n'existe que
'-lorsque la série converge.
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
On obtient, par comparaison sérieintégrale, un encadrement du reste ;
puis, les encadrants étant ici équivalents
entre eux, on en déduit un équivalent du
reste.
Comparaison du reste de la série au
reste d'une série géométrique.
4. 3 •Séries à termes dans un evn (2e étude)
2) Evaluation du reste d'une série convergente
+oo
Soient L Un une série convergente, Rn = L Uk le reste d'ordre n. Le but est ici d'obtenir
n~O
k = n+ l
un encadrement utile de Rn , ou un équivalent de Rn lorsque n tend vers l'infini.
a) Comparaison série-intégrale
S'il existe no E N et une application f : [no; +oo[-----+ IR continue par morceaux et décroissante telle que (V n ~ no, Un = J (n)), on pourra utiliser la comparaison série-intégrale,
qui donne:
1
+00 ~
1+00
V n ~ no,
n+i J ~ k~I f(k) ~ n f.
Exemple:
1
Soit ex E] 1; +oo[ ; puisque x r---+ - est continue et décroissante sur [1; +oo[,
xa
on obtient:
1
+ 00 dx
1+00 dx
V n ~ 1,
a ~ Rn ~
a,
n+I X
n
X
c'est-à-dire:
l
Vn ~ 1, - - - - - - - ~ Rn ~ - - - - -
(ex - 1)(n + l)a-1
(ex - l)na-1 '
Rn ~
1
•
noo (ex - l)naet donc
b) Séries comparables à une série géométrique
Supposons (Vn EN, Un > 0) et qu'il existe À E [O; 1 [ et N E N tels que:
Vn ~ N, 0 < Un + I ~ À.
Un
Par multiplication d'inégalités, on déduit: Vn > N, 0 < Un ~ À n - N U N,
+oo
+oo
À -N+l
puis : Vn ~ N, 0 < Rn= L Uk ~ À-N U N L Àk = ~ U NÀ
11
•
k=n+l
k=n+l
~ ( 2 + si~
1 n) "
Exemple : Calculer une valeur approchée à 1 o6 près de
L
,
11= 1
(
sin n) - l
1
• Comme 2 + - -
-----+ - , on cherche, par exemple, un entier N tel que :
n
noo 2
Vn ~ N ,
(
sinn) - l
0 < 2 + - n~ 0,6.
(
1 )-1
A cet effet, il suffit que 2 - N
~ 0 ,6, c'est-à-dire N ~ 3.
• On a donc, pour tout n ~ 2 :
+oo (
sin k )-k +oo
(0 6)
11 + 1
o ~ z= 2 + - k- ~ z= co.6)k = i ·_ o 6 = 2,5. co.6)n.
k=n+ 1
k=n+ 1
'
Ainsi, pour que 0 ~ Rn < ~ · 10- 6 , il suffit que 2,5 · (0,6)" < ~ · 10- 6 , c'est-à-dire
n ~ 31.
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Rappelons que le reste n'existe que
'-lorsque la série converge.
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
On obtient, par comparaison sérieintégrale, un encadrement du reste ;
puis, les encadrants étant ici équivalents
entre eux, on en déduit un équivalent du
reste.
Comparaison du reste de la série au
reste d'une série géométrique.
4. 3 •Séries à termes dans un evn (2e étude)
2) Evaluation du reste d'une série convergente
+oo
Soient L Un une série convergente, Rn = L Uk le reste d'ordre n. Le but est ici d'obtenir
n~O
k = n+ l
un encadrement utile de Rn , ou un équivalent de Rn lorsque n tend vers l'infini.
a) Comparaison série-intégrale
S'il existe no E N et une application f : [no; +oo[-----+ IR continue par morceaux et décroissante telle que (V n ~ no, Un = J (n)), on pourra utiliser la comparaison série-intégrale,
qui donne:
1
+00 ~
1+00
V n ~ no,
n+i J ~ k~I f(k) ~ n f.
Exemple:
1
Soit ex E] 1; +oo[ ; puisque x r---+ - est continue et décroissante sur [1; +oo[,
xa
on obtient:
1
+ 00 dx
1+00 dx
V n ~ 1,
a ~ Rn ~
a,
n+I X
n
X
c'est-à-dire:
l
Vn ~ 1, - - - - - - - ~ Rn ~ - - - - -
(ex - 1)(n + l)a-1
(ex - l)na-1 '
Rn ~
1
•
noo (ex - l)naet donc
b) Séries comparables à une série géométrique
Supposons (Vn EN, Un > 0) et qu'il existe À E [O; 1 [ et N E N tels que:
Vn ~ N, 0 < Un + I ~ À.
Un
Par multiplication d'inégalités, on déduit: Vn > N, 0 < Un ~ À n - N U N,
+oo
+oo
À -N+l
puis : Vn ~ N, 0 < Rn= L Uk ~ À-N U N L Àk = ~ U NÀ
11
•
k=n+l
k=n+l
~ ( 2 + si~
1 n) "
Exemple : Calculer une valeur approchée à 1 o6 près de
L
,
11= 1
(
sin n) - l
1
• Comme 2 + - -
-----+ - , on cherche, par exemple, un entier N tel que :
n
noo 2
Vn ~ N ,
(
sinn) - l
0 < 2 + - n~ 0,6.
(
1 )-1
A cet effet, il suffit que 2 - N
~ 0 ,6, c'est-à-dire N ~ 3.
• On a donc, pour tout n ~ 2 :
+oo (
sin k )-k +oo
(0 6)
11 + 1
o ~ z= 2 + - k- ~ z= co.6)k = i ·_ o 6 = 2,5. co.6)n.
k=n+ 1
k=n+ 1
'
Ainsi, pour que 0 ~ Rn < ~ · 10- 6 , il suffit que 2,5 · (0,6)" < ~ · 10- 6 , c'est-à-dire
n ~ 31.
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