SolutioH
D'où, pour tout N E N assez grand :
1 N+ I 1
1 N +2 1
1 N+5 1
= - 2: - - - 2: - + - l: -
4 11 = 1 n 3 11 = 2 n
12 11 = 5 n
1 ( 1
1
1
1 N +I 1)
1 ( 1
1
1 N +I 1
1 )
= - - + - + - + - +l: - - - - + - + - +l: - + - -
4 1 2
3
4 11 = 5 n
3 2
3 4
n=S n
N + 2
1 ( N+ I 1
1
1
l
l )
+ 12 l:~+"N2+N3+N4+N5
n=S
+
+
+
+
On déduit:
On conclut:
23
s = 144 ' . ::::' . 0, 159722 ...
Les méthodes à retenir
Étude de la somme d'une série
4. 3 •Séries à termes dans un evn (2e étude)
CoHseils
On aura besoin plus loin de la condition
N + 1 ~ 5 pour que les sommations
écrites aient un sens clair.
Changements d'indices :
n +--n+l, n +--n+2 , n+--n + 5.
Mise en évidence d'une partie commune à
chacune des trois sommations précéN+ t )
dentes, la partie L -.
11 =5 n
1
1
1
- - - + - =Û.
4
3
12
Contrôle de signe : le terme général u 11 est
~ 0, donc S ;?: O.
• Pour montrer la convergence et calculer la somme d'une série L u 11 , on pourra:
11?-Ü
- montrer d' abord la convergence par des arguments qualitatifs (utilisation de majoration, équivalent, règle
n
na Un, ... , en travaillant éventuellement sur lun 1 ) , puis calculer les sommes partielles L Uk et enfin chercher la
k=O
limite de celles-ci lorsque n tend vers l'infini.
- ou bien former directement les sommes partielles et déterminer leur limite lorsque n tend vers l'infini.
n
• Le calcul des sommes partielles L Uk est possible, au moins, dans les deux types de séries suivants :
k=O
- séries géométriques (ex. 4.3.17 a) à d))
- séries télescopiques (ex. 4.3.17 e) à v)).
• Nous rencontrerons d' autres calculs de sommes de séries lors de l'étude des séries entières et des séries de Fourier
(ch. 6 et 7).
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