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264
Chapitre 4 • Séries
Finalement, L un converge si et seulement si a ::::. ;; l, et alors :
n ;i? 2
+oo
{ 1 - 2a
LUn=
n=2
O
si a < l
si a= 1
On peut remarquer que l'exemple proposé est aussi celui d'une série télescopique, puisque :
Un = ((n - l)a - na) - (na - (n + l)a).
€;x:evcice.-type vésolu
Exemple de calcul de la somme d'une série convergente
+oo
1
Existence et calcul de S = L 3 2
•
11
= 0 n +Sn + 17n + 10
Solution
1
Notons, pour tout n E N : Un=
.
n 3 + 8n 2 + l 7n + 10
1) Existence
1
On a u,, ~ 3 , donc, d'après l'exemple de Riemann et le théorème d'équivaJence
noo n
pour des séries à termes réels ~ 0 , la série de terme général u,, converge, et donc S
existe.
2) Calcul
Considérons le polynôme Q = X
3 + 8X
2 + 17X + 10 et la fraction rationnelle
1
F= Q.
Comme -1 est racine évidente de Q, on peut mettre X + 1 en facteur :
Q = (X + 1) (x2 + 7X + 10).
Le trinôme X
2 + 7X + 10 , de discriminant Ll = 9 > 0 admet deux racines qui sont
-2 et -5.
D'où: Q =(X + l)(X + 2)(X + 5).
La décomposition en élements simples de F est donc de la forme :
1
a
b
c
F =
= - - + - - + - - (abc) E JR
3 .
(X+l)(X+2)(X+5)
X+l
X+2
X+5 '
' ,
l
En multipliant par X + 1 puis en remplaçant X par -1 , on obtient : a = 4
.
l
En multipliant par X + 2 puis en remplaçant X par -2, on obtient : b = - 3 .
1
En multipliant par X+ 5 puis en remplaçant X par -5 , on obtient : c = 12
.
On conclut:
1 1
1 1
1
1
F= - - - - - - - + - - - .
4 X+ 1 3 X+ 2
12 X+ 5
Conseils
Il est clair que, pour tout n E N, u 11 existe et
U11 > O.
On va amener un télescopage, à l'aide
d'une décomposition en éléments
simples.
Obtention de la décomposition de Q en
produit de facteurs irréductibles.
Obtention de la décomposition de F en
éléments simples.