Lorsque le terme général de la série est
une fraction rationnelle en n, on peut
essayer, par exemple, d'utiliser une
décomposition en éléments simples.
Utilisation de la formule
a - b
Arctan-1 + ab
= Arctan a - Arctan b,
valable, au moins, lorsque a et b sont
dans [O; + oof.
Simplification de termes sur trois lignes
consécutives.
4. 3 •Séries à termes dans un evn (2e étude)
Exemples:
1) Calcul de
+:x;
1
~11(11 + 1 ) ·
1
1
1
*t l
l
Comme: V n E N* , n(n + l) = -;; - n + 1 , on a: V n E N , k=I k(k + l) = 1 - n + 1 ,
+oo
1
et donc ' °""
- 1
~ n(n+ 1) - ·
2) Calcul de
+"211
L Arctan
,
.
11=0
114 + w + 2
En remarquant n
4
+ n
2
+ 2 = 1 + (n
2
+ n + l)(n
2 - n + 1) , on déduit:
2n
(n
2
+ n + 1) - (n
2 - n + 1)
Arctan
= Arctan - - - - - - - - - - -
n4 + n 2 + 2
1 + (n 2 + n + l)(n
2 - n + 1)
= Arctan (n
2
+ n + 1) - Arctan (n
2
- n + 1)
=Arctan ((n + 1)
2 - (n + 1) + 1) - Arctan (n
2 - n + 1),
et donc :
n
2k
7r
7r
7r
L Arctan 4 2 =Arctan (n
2 + n + 1) - Arctan 1-----+ - - - = -,
k=O
k + k + 2
noo 2
4
4
+oo
2n
7r
d'où finalement : L Arctan 4 2 = - .
n=O
tl + n + 2 4
c) Généralisation des séries télescopiques
Il se peut que Un puisse être écrit comme somme de plusieurs termes (le nombre de
n
termes étant fixé indépendant de n) de telle sorte que, dans L Uk, après simplificak=O
tians, il soit possible de passer à la limite lorsque n tend vers l'infini.
Exemple:
Convergence et calcul de la somme pour la série Lu"' où
ll 11 = (1! - 1 )" +(11 + 1 )a - 211" , 0/ E lR fixé.
U 11 = (n -
n;3.2
On obtient ainsi :
Il
L Uk = 1. - 2a - na + (n + Lt
k =2
= 1 - 2a + na ( ( 1 + ~ r -1)
= l - 2a + na(~+ o (~))
Il
Ceci montre que L U k admet une limite finie
k=2
lorsque n tend vers l'infini si et seulement si
a ~ 1.
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