Chapitre 4 • Séries
Exercices
4.3.13 Déterminer la nature des séries suivantes (on pourra utiliser la formule de Stirling) :
(-l)n(2n)!
e) 4n(n!)2 .
n"
a ) -
n!e"
nan'e"
b) (n +.1)"' a E IR
(2n)!
c ) - -
a EIR*+
n!a"n" '
(n !)anbn
d) (( 2
n) !)C , (a ,b,c) E IR
3
4.3.8
4.3.14
( 1)"
2
n!
Déterminer lim 1 + -
r.:: .
noo
n
n"vn
4.3.15 Existence et calcul de
1
f
->+oo x - - - E(x)
2
dx.
1
X
Étude de la somme d'une série convergente
+ oo
Etant donné une série Lu,, supposée convergente, le but de ce§ 4.3.8 est de calculer L Un
n ~
n ~
(si c'est possible), ou de trouver une évaluation asymptotique ou numérique de cette somme.
1) Calcul exact de la somme d'une série
Ce calcul exact sera peu souvent réalisable. On pourra essayer :
• de se ramener à des séries pour lesquelles la somme est connue : série géométrique
cf. a) ci-dessous, séries entières usuelles (cf. ch 6), séries de Fourier (cf. ch 7)
• de mettre le terme général sous une forme permettant, par télescopage, le
calcul des sommes partielles (cf. b) ci-dessous).
a) Série géométrique
g Cf.4.2.41 ) p.230.
Rappelons que, pour tout z de C tel que lz 1 < 1, la série géométrique L z" converge
n ~ O
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
'
262
Travailler d'abord sur une somme
partielle, puis passer à la limite.
et:
+oo
1
'""' z" = -
L,,
1- z ·
n ~ O
b) Séries télescopiques
Supposons que le terme général un de la série L un (pour laquelle on veut calculer
n ~ O
la somme) puisse se mettre sous la forme: Un = an+l - an , où (a 11 )nE N est une suite
admettant une limite finie connue l. Comme :
n
'Vn E N, L Uk = (a1 - ao) + (a2 - a1) + ... + (an+l - an)= a 11 +1 - ao,
k=O
on déduit:
+oo
Lun =l - ao .
n=O