L'intégration par parties permet de
1
remplacer l'intervention de - par celle
t
1
de 2 , ce qui assure ou renforce une
t
convergence ou une intégrabilité.
Q Cf.AnalyseMPSl,6.4.4Exemple 1).
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
~
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
~
Ka été défini plus haut.
Formule utile pour certains exercices.
4 . 3 •Séries à termes dans un evn (2e étude)
Wn = - [ (t - n + 1)2 .!.Jn -111 (t - n + 1)2
2
t n - 1
11-I
2
1
1 ln
1
=- - - -
(t-n+1)
2
2 dt.
2n
2 n-1
t
Notons, pour n ;?: 2,
l
n
1
Xn =
(t - n + 1)
2 2 dt.
n - 1
t
Comme: 0 ::::; Xn ::::; ln 2_ dt = -
1
- - _!. =
~ -
n-I t 2
n - 1 n
(n - l)n noo n 2 '
la série L x 11 converge.
n ;:,2
On obtient, en utilisant la constante d'Euler y :
1 n 1
1
11
ln(n!) = n Inn - n + 1 + - L - + - LXk
2 k=2 k
2 k=2
1
- dt
t2
=nlnn-n+ - lnn+ - I+y+~xk + o(l).
l
1 (
+oo )
2
2
6_
n oo
1 (
+
00
)
En notant K = 2
1 + y + {; Xk , on a donc :
1
ln(n!)=nlnn-n+ - lnn+K+ o(I),
2
1100
d'où
n! = n
11 e11 .jiïeK+ o(I ),
c'est-à-dire n! ,...., n
11 e11 .jiïeK.
11 00
Pour déterminer K, on utilise les intégrales de Wallis :
En notant / 11 = 1 I sin
11 x dx, on obtient, pour tout p de N :
et
(2" p !)2
l 2p+ I = - - - -
(2p+ l)! '
rr
rr
rr
rr
d'où: I I
-
~ - et 1 2 1 12 2 -
~ -
2 "
2 p+ I - 2(2p + 1) JJOO 4p
JJ+
JJ+ - 4(p + 1) JJ OO 4p
et donc, facilement :
D'autre part: Vn E N*,
l,,+1 ::::; / 11 ~ l,,_ 1,
d'où:
Vn EN* , / 11 ! 11 +1 ::::; l; ::::; / 11 / 11 _ 1.
Comme
puis, comme ln ;:?: 0 :
Mais:
(2p)!
12,, = (2P p !)2
d'où : eK = .Jiii.
On conclut:
et I
l
rr
on de'du1·t 1 2 ,...., !!_
n - 1 n ~ -
,
11
,
11 00 2n
n oo 2n
l ,...., frr (formule de Wallis).
n 1100 v 2;;
7r
(2p) 2 Pe- 2 P ,j2peK rr
2 p~ (2P pPe- P ..;peK)2 2
n! , . . . . _, (!:!_)n~.
noo e
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