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260
Chapitre 4 • Séries
Remarquer l'intervention du facteur
t - n + l,qui s'annule en n - 1.
1
Cependant, comme f
1
: t t----+ -
t
n'est pas intégrable sur [ 1; +oo[,on ne
peut pas appliquer directement le
Théorème de 3).
Notons, pour tout n de N*, Wn = 1n f (t) dt - f (n).
n-1
En utilisant une intégration par parties, on a, pour tout n de N*:
Wn = [(t - n + l)f(t)J:_
1
-1~
1
(t - n + l)J'(t) dt - f(fl)
= -1~
1
(t - n + l)f
1 (t) dt,
d'où: lwnl ~ 1~ 1
(t - fi+ l)IJ'U)I dt ~ 1~ 1
IJ'Ct) I dt.
On en déduit, pour tout fi de N* :
tlwkl ~ t ~k IJ'Ct)I dt= r lf'(t)I dt ~ { . 1!'1.
k= I
k=I l k -1
Jo
J [o,+oot
Le lemme fondamental permet de conclure que la série L Wn est absolument convergente.
De plus, pour tout n de N* :
n
rn
n
L Wk = Jo f (t) dt - L f (k).
k=I
0
k= I
En particulier, si f est intégrable sur [O; +oo[, alors r f (t) dt ~ { f,
Jo
noo l ro:+oor
donc la série L f (n) converge, et :
+oo
1
+oo
LWn =
f - Lf(n) .
n=I
[O:+oo[
n= I
Résumons l'étude :
Soitf : [0; +oo[---* OC une application de classe C
1 telle que f' soit intégrable sur
[0; +oo[. Notons pour tout n de N*, Wn = 1. n f (t) dt - f (n). Alors:
n-1
1) La série L Wn est absolument convergente
n;d
2) Si de plus/ est intégrable sur [0; +oo[, alors la série L f(n) converge, et:
n ;;, 1
l ______
+oo
[
+oo
LWn = Jri
f- Lf(n).
n= 1
[O; +oo[
n= 1
4) Formule de Stirling
L'application f: [1; +oo[ ~ lR est de classe C
1 sur [1 ; + oo[.
tt---* ln t
Notons, pour fi ~ 2, Wn = 1n ln t dt - ln fi •
n-1
On a donc, pour tout n ~ 2 :
n
ln
n
L Wk = ln t dt - L ln k = n ln n - n + 1 - ln(n !).
k=2
1
k=2
On a, comme dans 3), pour tout n ~ 2 : Wn=(t-n+l) - dt,
1 " 1
n- 1
t
puis, par une intégration par parties :