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0
c
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0
(V)
......
0
N
@
..._,
n a:
0
u
Ce théorème sert surtout pour établir
l'existence du nombre d'Euler y, voir cidessous.
Expression de y à l'aide d'une somme
de série.
4. 3 •Séries à termes dans un evn (2e étude)
r
,L--~~~~~~~~~,
l
Soit f : [O; +oo[----+ ffi. une application continue par morceaux, ~ 0, décroissante.
Notons, pour tout n de N*, Wn = 1 .n f (t) dt - f (n). Alors:
n- 1
1) La série L Wn converge.
n;;, 1
2)f est intégrable sur [O; +oo[ si et seulement si la série L f(n) converge.
n;;,1
3) Sif est intégrable sur [0; +oo[ ou si la série L f (n) converge, alors:
+oo
li +oo
L Wn =
f - L f(n).
n=I
[O;+oo[
n=l
Exemple: La constante d'Euler y
Considérons f: [ l; +oo[----+ IR, qui est continue, ~ 0, décroissante.
f'r--'> l t
Notons, pour tout n de N - {0, l}, w,, =
f (t) dt - f (n).
l
n
n - 1
On a, pour tout n de N - {0, l} :
D'autre part, d'après le théorème précédent, la série Lw,, converge.
n ';32
Il en résulte que la suite (in n - t ~) admet une limite finie dont l'opposée, notée y,
k=I
n;;, 1
est appelée constante d'Euler.
Ainsi:
Il
1
L - = ln n +y + o (1).
k
1100
k= I
+oo
1" dt 1 n 1
De plus, comme Lw,,= 1 - yetque,pourtoutn ~ 2, w, , = - - - =ln - - - -,
n=Z
n-1 t
n
n - 1
n
on déduit: y= 1 - ~(in _ n _ - .!.) ,
n=Z
n - 1 n
ou encore:
+oo (
1
1 )
r = i - L: 1n(1 + - ) - - .
n=I
n
n + 1
Une valeur approchée est: y'.::::'. 0,577 ...
A l'heure actuelle (2006), on ne sait pas si y est un rationnel.
3) Cas d'une fonction à valeurs dans IK
Soit f : [O; +oo[-----+ lK une application de classe C
1 telle que f' soit intégrable sur [O; +oo[.
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