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0
(V)
......
0
N
@
..._,
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Ol
·;::
>- 0.
0
u
258
Chapitre 4 • Séries
Obtention d'un équivalent simple de la
somme partielle d'une série divergente.
Nous poursuivons l'étude élémentaire
vue en 1) par une étude plus
approfondie, faisant intervenir le terme
Wn.
N
Puisque Lw,, a une limite finie
n= I
lorsque N ~ oo, foN f(t)dt a
une limite finie si et seulement si
N
L f (n) a une limite finie.
n= I
Exemple:
En appliquant la Prop. précédente à f : [l; +oo[----+ IR, on obtient :
n - + ln x
"ln ?: 2 , ln 1nx dx ~ tlnk ~ 1n+
1
1nx dx ,
1
k=2
2
n
c'est-à-dire: "ln ?: 2,nlnn -n + 1 ~ Llnk ~ (n + l)ln(n + 1)- n - 2ln2+ 1,
k=2
n
d'où: L ln k ~ nln n, c'est-à-dire :
k=2
noo
ln(n !) ~ nln n.
noo
2) Cas d'une fonction décroissante à valeurs dans IR+
Soit f : [0; +oo[----+ IR continue par morceaux, ?: 0 , décroissante. Notons, pour tout n
de N*:
Wn =ln f (t) dt - f (n).
n-1
Puisque f est décroissante, on a: "ln EN*, 'Vt E [n - 1; n], f(n) ~ f(t) ~ f(n - 1),
d'où: "ln E N*,
l
n
f (n) ~ n- I f (t) dt ~ f (n - 1),
et donc: "ln EN* , 0 ~ Wn ~ f(n -1)- f(n).
Ceci montre que la série L Wn est à termes ?: 0, et que, pour tout N de N* :
n ~O
N
N
L wn ~ L (!en - 1) - f(n)) = f (0) - f(N) ~ f(O).
n= I
n = I
D'après le lemme fondamental , on conclut que L Wn converge.
11 ~0
De plus, pour tout N de N*:
N
N
n
N
N
N
t;; Wn = t;; 1_
1
f(t) dt - t;; f(n) = 1 f(t) dt - t;; f (n).
Puisque la série L Wn converge, il en résulte que la suite ( {N f (t) dt)
n ;J: I
la
N EN*
converge si et seulement si la série L f (n) converge.
n ~ I
•Si f est intégrable sur [O; + oo[, alors { N f (t) dt ----+ {
f, et donc la série L f (n)
la
N oo 11a;+ oo[
11 ;;: 1
converge.
• Réciproquement, supposons que la série L f (n) converge. Alors, la suite ( r 1)
n ;J:a
~
11 EN
converge, donc est majorée ; il existe M E IR+ tel que : "ln E N, 1" f ~ M.
Ainsi, (lO; nJ)
est une suite croissante de segments dont la réunion est égale à [0; +oo[ et
n EN
telle que : "ln E N, {
f ~ M.
11a:nJ
D'après 3.1.1 2), Prop. 2 p. 155, f est intégrable sur [O; +oo[.
Résumons l'étude.
0
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Chapitre 4 • Séries
Obtention d'un équivalent simple de la
somme partielle d'une série divergente.
Nous poursuivons l'étude élémentaire
vue en 1) par une étude plus
approfondie, faisant intervenir le terme
Wn.
N
Puisque Lw,, a une limite finie
n= I
lorsque N ~ oo, foN f(t)dt a
une limite finie si et seulement si
N
L f (n) a une limite finie.
n= I
Exemple:
En appliquant la Prop. précédente à f : [l; +oo[----+ IR, on obtient :
n - + ln x
"ln ?: 2 , ln 1nx dx ~ tlnk ~ 1n+
1
1nx dx ,
1
k=2
2
n
c'est-à-dire: "ln ?: 2,nlnn -n + 1 ~ Llnk ~ (n + l)ln(n + 1)- n - 2ln2+ 1,
k=2
n
d'où: L ln k ~ nln n, c'est-à-dire :
k=2
noo
ln(n !) ~ nln n.
noo
2) Cas d'une fonction décroissante à valeurs dans IR+
Soit f : [0; +oo[----+ IR continue par morceaux, ?: 0 , décroissante. Notons, pour tout n
de N*:
Wn =ln f (t) dt - f (n).
n-1
Puisque f est décroissante, on a: "ln EN*, 'Vt E [n - 1; n], f(n) ~ f(t) ~ f(n - 1),
d'où: "ln E N*,
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f (n) ~ n- I f (t) dt ~ f (n - 1),
et donc: "ln EN* , 0 ~ Wn ~ f(n -1)- f(n).
Ceci montre que la série L Wn est à termes ?: 0, et que, pour tout N de N* :
n ~O
N
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L wn ~ L (!en - 1) - f(n)) = f (0) - f(N) ~ f(O).
n= I
n = I
D'après le lemme fondamental , on conclut que L Wn converge.
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De plus, pour tout N de N*:
N
N
n
N
N
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1
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Puisque la série L Wn converge, il en résulte que la suite ( {N f (t) dt)
n ;J: I
la
N EN*
converge si et seulement si la série L f (n) converge.
n ~ I
•Si f est intégrable sur [O; + oo[, alors { N f (t) dt ----+ {
f, et donc la série L f (n)
la
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11 ;;: 1
converge.
• Réciproquement, supposons que la série L f (n) converge. Alors, la suite ( r 1)
n ;J:a
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converge, donc est majorée ; il existe M E IR+ tel que : "ln E N, 1" f ~ M.
Ainsi, (lO; nJ)
est une suite croissante de segments dont la réunion est égale à [0; +oo[ et
n EN
telle que : "ln E N, {
f ~ M.
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D'après 3.1.1 2), Prop. 2 p. 155, f est intégrable sur [O; +oo[.
Résumons l'étude.