f/J Cf. 3.1.3 Prop. 1 p. 158.
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Q.
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4. 3 •Séries à termes dans un evn (2e étude)
De plus, d'après la Prop. p. 255, pour tout (n,q) tel que n 0 ~ n < q, on a :
r q+I
q
{ q
l n+I f ~ kl ;.1 f (k) ~ 111 f,
d'où en faisant tendre q vers l'infini (avec n fixé) :
r+oo
~
r+oo
111+ 1 f ~ k~I f (k) ~ 111 f.
2) Réciproquement, supposons que L f (n) converge.
n ;:;:n 0
D'après la Prop. p. 255 et puisque f ~ 0, on a :
Vn ~ no, 1::1 1 f ~ k=~+1 f (k) ~ l=;I f (k),
et donc f est intégrable sur [n 0 ; +oo[.
b) Cas d'une fonction croissante
•
Soient no E N ,f : [no; +oo[----+ IR une application continue par morceaux et croissante. On a, pour tout (p,q) de N
2 tel que no ~ p < q :
{q
q
1q+ I
ln ! ~ I: J(k) ~
J.
P
k=p+I
p+ I
Preuve
Appliquer la Prop de a), p. 255 à - f.
y
0
no
p p+1
q
X
y
0
no
p+l
q q+l X
257
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De plus, d'après la Prop. p. 255, pour tout (n,q) tel que n 0 ~ n < q, on a :
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q
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d'où en faisant tendre q vers l'infini (avec n fixé) :
r+oo
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111+ 1 f ~ k~I f (k) ~ 111 f.
2) Réciproquement, supposons que L f (n) converge.
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D'après la Prop. p. 255 et puisque f ~ 0, on a :
Vn ~ no, 1::1 1 f ~ k=~+1 f (k) ~ l=;I f (k),
et donc f est intégrable sur [n 0 ; +oo[.
b) Cas d'une fonction croissante
•
Soient no E N ,f : [no; +oo[----+ IR une application continue par morceaux et croissante. On a, pour tout (p,q) de N
2 tel que no ~ p < q :
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q
1q+ I
ln ! ~ I: J(k) ~
J.
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Preuve
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