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256
Chapitre 4 • Séries
Nous préciserons ce résultat plus loin
(p.259),avec la constante d'Euler y.
Comparaison portant sur un reste, ce qui
suppose une convergence.
La somme des aires des rectangles en
q
couleurcorrespondà L f(k),ou
k=n+ I
+oo
à I:: J k=n+I
Exemple:
En appliquant la Prop. 1 à f: [1; +oo[-----+ JR, on obtient en particulier:
x~l
X
\ln EN*,
(1
11+1 1
Il
1
-~ L -
I
X
k=I k
et L -~ L - dx,
Il
1
Il
1 )
k=2 k
1 X
d'où: Vn EN*,
Il
1
ln(n + 1) ~ L - ~ 1 + lnn.
k= I k
On en déduit ainsi (puisque ln(n + 1) ~ ln n et 1 +ln n ~ ln n) :
noo
noo
Il
1
'°' - ~ Inn.
L., k 11 00
k= I
Soient no E N, f : [no; +oo[----+ lR+ continue par morceaux, décroissante.
La série
L f (n ) converge si et seulement si l'application f est intégrable
n ~no
sur [no; +oo[, et, dans ces conditions, on a :
Vn ;;:: no,
1
+00
+oo
1
+oo
n+ l f ~ k !;I f(k) ~ n f.
Preuve
1) Supposons f intégrable sur [no; +oo[. D'après la Prop. p. 255 :
\ln > no, k=t+i f (k) ~ 1 : f ~ 1 :
00
f,
ce qui montre, d'après le lemme de majoration, que la série L f (n) converge.
n ~ n 0
y